ЛЕКЦИЯ 3 МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

План лекции

1. Метод непосредственного использования законов Кирхгофа

2. Метод узловых потенциалов

3. Метод напряжения между двумя узлами

4. Метод эквивалентных преобразований схем с последовательнопараллельным соединением приемников

1. МетоднепосредственногоиспользованиязаконовКирхгофа

Предварительно нужно выявить в схеме узлы и ветви. Ветвь – участок с одним током между двумя узлами. В схеме столько токов, сколько ветвей. Направления их указывают произвольно.

Число уравнений должно быть минимальным, но достаточным и равным числу неизвестных токов, т. е. m − mJ , где m – общее число ветвей в

схеме; mJ – число ветвей с источниками тока.

По первому закону Кирхгофа составляют n −1 уравнение, где n – число узлов схемы. В этих уравнениях учитывают и токи источников тока. При подготовке данных для ввода в ЭВМ известные величины записывают справа от знака равенства. Поэтому первый закон Кирхгофа формулируют следующим образом:

∑I = ∑J ,

где ∑I – алгебраическая сумма неизвестных токов ветвей в узле; ∑J – ал-

гебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к этому же узлу.

Недостающие уравнения дописывают по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, не содержащих источников тока.

Рассмотрим применение метода для схемы рис. 3.1. Нужно определить все токи, если известны значения J, E1, E3, R1, R2, R3.

Решение

1.Выявим узлы (а и b) и ветви.

2.Направим токи I1, I2, I3 . Ток источника тока уже обозначен и извес-

тен.

3. Определим число расчетных уравнений:

m − mJ = 4 −1 =3.

ЛЕКЦИЯ 3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

1. Метод непосредственного использования законов Кирхгофа

Рис. 3.1

4. Составим (n −1)= 2 −1 =1 уравнение по первому закону Кирхгофа:

5. Дописываем два недостающих уравнения по второму закону Кирхгофа. Рекомендуют составлять уравнения для «главных», не содержащих в себе других контуров. Направление обхода разных контуров может быть разным.

Выберем направление обхода контуров по часовой стрелке. Тогда

U1 +U2 = E1 ;

−U2 +U3 = E3 .

Подставив выражения напряжений по закону Ома, получим следующую систему уравнений:

6. Решением системы находим токи.

Систему уравнений по законам Кирхгофа можно записать в матричной форме следующим образом:

[a] [I ]= [F],

ЛЕКЦИЯ 3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

1. Метод непосредственного использования законов Кирхгофа

где [a] – квадратная матрица коэффициентов; [I ] – матрица-столбец неизвестных токов ветвей; [F ] – матрица-столбец активных параметров, которыми являются токи источников тока и ЭДС.

Уравнения в системе не однотипны, так как записаны на основании двух разных законов. В уравнениях по первому закону Кирхгофа коэффициенты aij безразмерны и могут принимать значения ±1 или 0. В правой части

Fj = ∑J .

В уравнениях по второму закону Кирхгофа коэффициенты aij имеют

Расчет по законам Кирхгофа является универсальным, но громоздким. Поэтому на его основе разработаны методы, позволяющие упростить решение.

2.Методузловыхпотенциалов

Вкачестве промежуточных неизвестных принимают потенциалы уз-

лов.

Потенциал – функция многозначная, поэтому потенциал одного из узлов принимают равным нулю. Рационально заземлять узел, в котором сходится максимальное число ветвей.

Уравнения составляют на основании первого закона Кирхгофа. В них подставляют значения токов, выраженные по закону Ома для активной и пассивной ветвей. Число уравнений равно числу незаземленных узлов. Систему можно записать в трафаретном виде:

где G11 , G22 , ..., Gmm – собственные проводимости узлов, равные сумме проводимостей ветвей, соединяющихся в соответствующем узле; G12 , G21 , G13 , ... – общие проводимости между двумя узлами, равные сумме проводи-

ЛЕКЦИЯ 3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

2. Метод узловых потенциалов

мостей ветвей, соединяющих эти узлы; J11 , J22 , ..., Jmm – узловые токи, рав-

ные алгебраической сумме произведений проводимостей активных ветвей на ЭДС этих ветвей и токов источников тока, соединяющихся в этом узле.

С положительным знаком берут ЭДС и токи, направленные к узлу.

Решением системы уравнений определим потенциалы узлов. Затем рассчитаем токи ветвей по закону Ома:

I1 = G1(V4 −V1 + E1 ) = G1( −V1 + E1 ), так как V4 = 0 ;

I2 = −G2V1; I3 = G3(V1 −V2 − E3 ); I4 = G4( −V3 + E4 ) ;

I5 = G5(V2 −V3 ); I6 =G6(V2 −V3 − E6 ).

3. Методнапряжениямеждудвумяузлами

Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов и применим для схемы с двумя узлами.

Так как потенциал одного из узлов принимают равным нулю, то потенциал второго узла равен напряжению между этими узлами.

Если принятьV2 = 0 , то трафаретная система даёт одно уравнение:

G11V1 = J11,гдеV1 =U12 .

ЛЕКЦИЯ 3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

3. Метод напряжения между двумя узлами

Формулу для определения напряжения между двумя узлами в общем виде можно записать следующим образом:

ЭДС с отличными от нуля проводимостями; m − число ветвей, содержащих источники тока; l − число ветвей без источников тока.

Число слагаемых в числителе равно числу активных ветвей. С положительным знаком записывают Е и J , направленные к первому в индексе напряжения узлу.

Сумма в знаменателе формулы – арифметическая.

Вычислив напряжение между двумя узлами, по закону Ома для ветви находят токи.

4.Методэквивалентныхпреобразованийсхем

споследовательно-параллельнымсоединениемприемников

Метод эквивалентных преобразований применяют как самостоятельный для расчета токов в схемах с одним источником энергии и несколькими приемниками. Его можно использовать и для упрощения частей сложной схемы при расчетах другими методами.

Все приемники заменяют одним с эквивалентным сопротивлением. При этом токи и напряжения в частях схемы, не затронутых преобразованием, должны оставаться неизменными.

Находят токи в свернутой схеме. Затем возвращаются к исходной схеме с определением остальных токов.

Преобразование схемы проводят постепенно, рассматривая участки с последовательными и параллельными соединениями приемников. Предварительно нужно выявить узлы и ветви. Элементы, принадлежащие одной ветви, соединены между собой последовательно. В них один ток. Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных резисторов равно сумме их сопротивлений:

n

Rэ = ∑Ri .

i =1

При параллельном соединении элементы схемы замещения находятся под одним напряжением и соединены между собой двумя выходными зажи-

ЛЕКЦИЯ 3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

4. Метод эквивалентных преобразований схем с последовательно-параллельным соединением приемников

мами. Эквивалентная проводимость параллельно соединенных резисторов равна сумме их проводимостей:

В свернутой схеме ток определяют по закону Ома: I = E .

Rэ

При возвращении к исходной схеме с определением остальных токов удобно пользоваться формулой для определения тока в одной из двух параллельно соединенных пассивных ветвей.

Ток в одной из двух параллельно соединенных пассивных ветвей пропорционален току в неразветвленной части схемы. В числителе коэффициента пропорциональности записывают сопротивление другой пассивной ветви, в знаменателе – сумму сопротивлений двух пассивных ветвей.

Вопросыдлясамопроверки

1.Чему равно минимальное и достаточное число уравнений в системе, составленной по законам Кирхгофа?

2.Сколько уравнений составляют по первому закону Кирхгофа?

3.Чему равно число уравнений в системе для определения потенциалов

узлов?

4.Что назвали узловым током?

5.Для расчета каких схем метод эквивалентных преобразований можно использовать как самостоятельный?