ЛЕКЦИЯ 29 ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

План лекции

1. Основные понятия

2. Уравнения однородной линии

3. Синусоидальные напряжения и токи

1. Основныепонятия

Ранее в курсе ТОЭ рассматривали цепи с сосредоточенными параметрами. В них можно выделить элементы, в которых запасается энергия магнитного поля, электрического поля, происходят необратимые преобразования электромагнитной энергии в другие виды энергии. Эти явления учитывают элементы резистивный, индуктивный, емкостный.

Под цепями с распределенными параметрами понимают такие цепи, в которых энергии электрического и магнитного полей, а также необратимые преобразования энергии (потери в виде тепла) распределены равномерно или неравномерно вдоль цепи (ее длины).

К цепям с распределенными параметрами относят ЛЭП, линии телефонной связи, антенны приемно-передающих устройств. Обмотки электрических машин и трансформаторов тоже можно считать цепями с распределенными параметрами.

Рассмотрим двухпроводную однородную линию электропередачи. Однородной называют линию, параметры которой равномерно распределены вдоль ее длины. Это идеализированная линия, так как учитывают изменение параметров от влияния провиса проводов и неравномерности поверхности земли.

В цепях с распределенными параметрами напряжения и токи будут различны на каждом участке и могут меняться в пределах одного участка.

участка. Такой элементарный участок обладает параметрами: C0dx, L0dx, R0dx, G0dx . C0 , L0 , R0 , G0 – первичные

параметры однородной линии, т. е. параметры линии на единицу длины. Их

ЛЕКЦИЯ 29. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1. Основные понятия

считают обычно известными и постоянными. [R0 ]= Омкм ; [G0 ]= Смкм ,

[L0 ]= кмГн , [С0 ]= кмФ .

Элементарный участок с учетом и первичных параметров представлен

2. Уравненияоднороднойлинии

Напряжение и ток линии зависят не только от времени, но и от пространственной координаты х (от точки линии): u(x, t); i(x, t).

Координату х можно отсчитывать от начала линии, конца или любой точки, принятой за начало отсчета. Начало линии – точка подключения линии к генератору, конец линии – точка подключения нагрузки к линии.

Будем вести отсчет координаты х от начала линии и считать, что вся нагрузка сосредоточена в конце линии, линия не имеет ответвлений.

Исследовать линию – это значит найти зависимости u(x, t) и i(x, t) в

любой точке линии в любой момент времени.

Определим изменение напряжения на участке dx, которое равно сумме падений напряжений на элементах этого участка:

u− u + du dx = −du dx .

dx dx

На рис. 29.2 видно, что

− ddux dx = (R0dx) i + (L0dx)ddti ,

тогда

− ddux =R0i +L0 ddti .

ЛЕКЦИЯ 29. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3. Синусоидальные напряжения и токи в линии

В системе уравнений (29.1) перейдем от мгновенных значений к комплексным. Комплексные значения зависят от х и не зависят от t, так как ком-

плекс сопоставляют вектору в момент времени t = 0: I = I (x); U = U (x).

Поэтому получаем систему уравнений не в частных производных, а в обыкновенных (полных):

где Z 0 – комплексное продольное сопротивление на единицу длины линии; Y 0 – комплексная поперечная проводимость на единицу длины линии.

Из системы уравнений (29.3), исключая либо ток, либо напряжение, можно получить соответственно дифференциальное уравнение для напряжения или тока.

Продифференцировав первое уравнение и подставив в него значение ddxI из второго, получим

Обозначим Z 0Y 0 = (R0 + jωL0 )(G0 + jωC0 )= γ – коэффициент распространения.

Тогда уравнение примет вид

Как известно из математики, решение этого уравнения есть сумма двух экспоненциальных функций:

ЛЕКЦИЯ 29. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3. Синусоидальные напряжения и токи в линии

где U – комплекс действующего значения напряжения для любой точки линии; А1 и А2 – постоянные интегрирования; γ и λ – корни характеристического уравнения, получаемого из (29.4):

p2 − γ2 = 0, отсюда p = ±λ.

Аналогично можно получить решение для тока:

Но такое решение нецелесообразно, так как нужно искать еще две постоянные интегрирования.

Более рационально найти ток из первого уравнения системы (29.3):

имеет размерность сопротивления.

Его называют характеристическим или волновым сопротивлением линии и обозначают Z с :

Тогда комплекс действующего значения тока для любой точки линии можно записать следующим образом:

Для выяснения физического смысла слагаемых напряжения в уравнении (29.5) перейдем к мгновенному значению напряжения u(x, t). При этом

ЛЕКЦИЯ 29. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3. Синусоидальные напряжения и токи в линии

учтем, что постоянные интегрирования и коэффициент распространения являются комплексными числами:

где α – коэффициент затухания, характеризующий степень убывания амплитуды; β – коэффициент фазы, характеризующий изменение фазы.

Если считать координату х фиксированной, то первое слагаемое изменяется по синусоидальному закону с постоянной амплитудой напряжения.

Если считать фиксированным время, то напряжение меняется по синусоиде, затухающей по экспоненте.

Убывание амплитуды волны вдоль линии обусловлено потерями в линии, а изменение фазы – конечной скоростью распространения электромагнитных колебаний.

Коэффициенты α иβ, входящие в γ, характеризуют распространение волны вдоль линии, поэтому γ назвали коэффициентом распространения.

туду в начале линии и минимальную в конце. Эта составляющая на-

пряжения движется от начала линии к концу со скоростью υ. Эту волну называют бегущей (прямой или падающей составляющей).

Так как второе слагаемое имеет амплитуду A2meαx (со знаком плюсом),

то она достигает максимального значения в конце линии. Эту волну называют обратной или отраженной.

В фазе колебания второе слагаемое βx – со знаком плюс, поэтому фа-

зовая скорость υ = −ωβ .

Это означает, что вторая составляющая напряжения перемещается с той же скоростью, что и первая, но от конца линии к началу (рис. 29.4).

ЛЕКЦИЯ 29. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3. Синусоидальные напряжения и токи в линии

−A2m eαx sin(ωt +βx +ψ2 −θ) = iïð (x,t) −iîáð (x,t) .

Zc

Результирующий ток и его прямая составляющая совпадают по направлению и направлены от начала к концу линии, обратная составляющая направлена от конца к началу линии.

Коэффициентом пропорциональности между Um и Im , U и I прямой и

обратной волны является характеристическое (волновое) сопротивление каждой волны.

В комплексной форме можно записать

Uпр. = Z c ; Uобр. = Z c .

Iпр. Iобр.

Напряжение и ток сдвинуты относительно другдругапофазенаугол θ. Мощности в цепях с распределенными параметрами для каждой волны

определяют так же, как в цепях с сосредоточенными параметрами. Например, комплексная мощность прямой волны

*

S пр =Uпр I пр = Рпр + jQпр =UпрIпр cos θ+ jUпрIпр sin θ.

Активная мощность прямой волны

Представление напряжений и токов в виде прямой и обратной составляющих есть математический прием, который облегчает анализ таких цепей.

ЛЕКЦИЯ 29. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3. Синусоидальные напряжения и токи в линии

Реально в цепях с распределенными параметрами существуют результирующие напряжения и токи.

Вопросыдлясамопроверки

1.Чем цепи с распределенными параметрами отличаются от цепей с сосредоточенными параметрами?

2.Какие уравнения используют при анализе процессов в линиях?

3.Чем частные производные отличаются от полных?

4.Каков физический смысл слагаемых напряжения в уравнении однородной линии?

5.Как вычислить активную мощность?