ЛЕКЦИЯ 14 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

План лекции

1. Причины возникновения

2. Способы изображения несинусоидальных периодических функций

3. Действующие значения несинусоидальных периодических токов и напряжений

4. Коэффициенты, характеризующие периодические несинусоидальные функции

5. Мощности в цепях несинусоидального тока

6. Расчет однофазных цепей при несинусоидальных периодических воздействиях

1.Причинывозникновения

1.Несовершенство промышленных генераторов электрической энер-

гии.

2.Существование генераторов специальных, отличных от синусоиды, форм сигналов.

3.Наличие в цепях нелинейных элементов, искажающих форму синусоидальных кривых электрических величин.

2.Способыизображениянесинусоидальных периодическихфункций

1.Графический (рис. 14.1).

f (tω)

ωt

Рис. 14.1

ЛЕКЦИЯ 14. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

2.Способы изображения несинусоидальных периодических функций

2.Аналитический. Если периодическая функция удовлетворяет условию Дирихле (на всяком конечном интервале имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число экстремумов), то ее можно разложить в ряд Фурье:

f (ωt)= A0 + A1msin (ωt + ψ1 )+ A2msin(2ωt + ψ2 )+

+…Akmsin(k ωt + ψk )+…,

где А0 – постоянная составляющая ряда; Аkmsin(кωt + ψk ) – гармоническая составляющая, меняющаяся с частотой k ω.

Ряд Фурье можно записать следующим образом:

∞

f (ωt) = A0 + ∑Akm sin(kωt + ψk ) .

k =1

Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называют ее дискретным частотным спектром.

Первую гармонику ряда A1msin(ωt + ψ1 ) называют основной, осталь-

ные – высшими.

В зависимости от допустимой точности расчетов частью высших гармоник пренебрегают. При разложении в ряд Фурье часть слагаемых может обращаться в нуль.

Так как гармоники изменяются с разной частотой, на графиках масштаб по оси абсцисс для каждого слагаемого ряда разный (рис. 14.2).

f1(1ωt)

ωt

f3 (1ωt)

Рис. 14.2

Все электрические машины обычно выполняют с симметричными магнитными системами. При разложении в ряд Фурье функций, симметричных относительно оси абсцисс, постоянная составляющая и все четные гармоники обращаются в нуль.

ЛЕКЦИЯ 14. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

3. Действующиезначениянесинусоидальных периодическихтоковинапряжений

Понятие действующего значения, как и в цепях синусоидального тока, основано на сравнении по тепловому действию с постоянным током.

Действующее значение тока

Несинусоидальную кривую тока разлагают в ряд Фурье:

i = I0 + I1msin(ωt + ψi1 )+ I2msin(2ωt + ψi2 )+ I3msin(3ωt + ψi3 )+… .

После подстановки и соответствующих преобразований получим

I = I02 + I12 + I22 + I32 +…;

Действующее значение несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов действующих значений токов всех слагаемых ряда.

Действующие значения напряжения и ЭДС определяют аналогично:

U = U02 +U12 +U22 +U32 +…;

E = E02 + E12 + E22 + E32 +… .

Реальные источники энергии не могут вырабатывать ЭДС и токи, меняющиеся строго по синусоидальному закону. На практике говорят о практических синусоидах токов и напряжений.

Практической синусоидой называют такую кривую, у которой разность

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

ЛЕКЦИЯ 14. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

4. Коэффициенты, характеризующиепериодические несинусоидальныефункции

1. Коэффициент амплитуды определяют как отношение максимального значения к действующему:

ka = ААmax .

Для синусоиды ka = 2 =1,41.

2. Коэффициент искажения – это отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению всей кривой:

ku = AA1 .

Для синусоиды ku =1.

3. Коэффициент формы – это отношение действующего к среднему по модулю значению:

kф = ААср .

Для синусоиды kф = 2 π2 =1,11.

Среднее по модулю значение зависит от углов ψk и определяется по формуле:

Аср = 1 2∫π f (ωt)d(ωt).

2π 0

Если функция не содержит постоянной составляющей и четных гармоник и не изменяет знака в течение каждого полупериода, то для нахождения Аср можно воспользоваться следующим выражением:

Аср = π2 А1mcos ψ1 + 13 A3mcos ψ3 + 15 A5mcos ψ5 +… .

5. Мощностивцепяхнесинусоидальноготока

Активная мощность – это среднее значение мощности за период:

1 T

P = T 0∫u i dt .

Пусть u =U0 +U1msin(ωt + ψ1 )+U2msin(2ωt + ψ2 )+…;

ЛЕКЦИЯ 14. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

6. Расчет однофазных цепей при несинусоидальных периодических воздействиях

тока – как ряд параллельно соединенных источников тока с разной частотой

(рис. 14.5, б).

Рис. 14. 5

При расчете применяют метод наложения. Рационально разбить схему на столько подсхем, сколько частот получается при разложении в ряд Фурье несинусоидальных ЭДС и токов. Подсхемы отличаются друг от друга не только источниками энергии, но и величинами реактивных сопротивлений, которые зависят от частоты:

XкL = кLω и XкC = кC1ω

Индуктивная катушка сглаживает кривые тока. Конденсатор увеличивает пульсацию кривой.

Определим требуемые по условию величины в подсхемах. Найдем нужные величины в исходной схеме.

Мгновенные значения токов и напряжений в схеме получают суммированием соответствующих мгновенных значений в подсхемах. Действующие значения токов, напряжений и ЭДС определяют через соответствующие действующие значения в подсхемах по формулам:

I = I02 + I12 + I22 +…Ik2 +…;

U= U02 +U12 +U22 +…Uk2 +…;

Е= Е02 + Е12 + Е22 +…+ Еk2 +… .

Активная мощность

P = P0 + P1 + P2 +…+ Pk +… .

ЛЕКЦИЯ 14. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

6. Расчет однофазных цепей при несинусоидальных периодических воздействиях

Приборы разных электроизмерительных систем реагируют на разные значения несинусоидальных периодических электрических величин.

Приборы электромагнитной и электродинамической систем показывают действующие значения, магнитоэлектрической системы – постоянную составляющую, магнитоэлектрической с выпрямителем – среднее по модулю значение.

Вопросыдлясамопроверки

1.Каковы причины возникновения несинусоидальных периодических токов и напряжений?

2.Что представляет собой ряд Фурье?

3.Что называют дискретным частотным спектром?

4.Чему равно действующее значение несинусоидальной периодической функции?

5.Что называют практической синусоидой?

6.Что называют эквивалентной синусоидой?

7.Как вычисляют активную, реактивную и полную мощности в цепях

снесинусоидальными периодическими воздействиями?

8.Что называют мощностью искажения?

9.Какой метод используют для расчета цепей при несинусоидальных периодических воздействиях?