ЛЕКЦИЯ 20 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

План лекции

1. Расчет нелинейных цепей методом итераций

2. Расчет нелинейных цепей методом Ньютона – Рафсона

1. Расчетнелинейныхцепейметодомитераций

Точность расчетов графическими методами мала и существенно зависит от субъективных факторов.

Основной метод решения системы нелинейных уравнений – численный. Численное решение получают, как правило, многократным использованием одних и тех же уравнений, уточняя искомое решение шаг за шагом. Такой способ называют методом последовательных приближений или итераций.

Сущность метода итераций (последовательных приближений) заключается в аналитическом решении системы алгебраических нелинейных уравнений. Статическое сопротивление нелинейного элемента должно быть задано в функции от тока или напряжения.

Пусть в схеме один нелинейный элемент (НЭ), ток в котором и надо найти. Остальную часть схемы (активный двухполюсник) заменим эквивалентным ему генератором (см. рис. 20.1).

Графическая иллюстрация решения методом итерации приведена на рис. 20.2.

Напряжение на линейном элементе U = Eг − RгI . Ток зависит от ста-

тического сопротивления НЭ, которое, в свою очередь, зависит от напряжения, поэтому это уравнение является нелинейным: U = F(U ) .

ЛЕКЦИЯ 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

1. Расчет нелинейных цепей методом итераций

Пусть напряжение в нулевом приближении U0 = Eг . На ВАХ НЭ находим соответствующую рабочую точку b. Так как ток в схеме один, то току I0 на графике I (Eг − RгI ) соответствует точка с. Напряжение на НЭ U = Eг − RгI , поэтому переходим из точки с в точку d. Повторив этот про-

цесс, получим рабочую точку А.

Итерационный процесс не всегда будет сходящимся. Сходимость процесса зависит прежде всего от вида ВАХ и величины сопротивления Rг . Из

математики известно, что условие сходимости требует, чтобы в окрестности искомого корня (рабочая точка А) абсолютное значение производной F′(U )

было меньше 1. Чем оно меньше, тем быстрее процесс будет сходиться.

Чтобы итерационный процесс сходился, должно выполняться условие

−Rг <1. Сопротивлениям можно сопоставить тангенсы соответствующих

Rд

углов (см. рис. 20.2), тогда можно записать tgtgβδ <1 либо tgδ< tgβ.

Отсюда: угол δ должен быть меньше угла β. В этом легко убедиться, перемещая рабочую точку А по ВАХ НЭ. При этом величины углов δ и β будут меняться. Если угол δ намного меньше угла β, процесс сходится быстро. Если угол δ больше угла β, процесс будет расходящимся.

вом приближении Rñò(I ) = 3 −1 = 2 Ом.

ЛЕКЦИЯ 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

1. Расчет нелинейных цепей методом итераций

раниченная точность и возможность расчета на ЭВМ.

Метод можно применять только для цепей с НЭ, ВАХ которых меняются монотонно.

2. РасчетнелинейныхцепейметодомНьютона– Рафсона

Итерационный процесс может быть организован различными методами. Наиболее эффективным считается метод Ньютона – Рафсона. Рассмотрим его применительно к решению одного уравнения. Пусть нелинейное уравнение f (x) = 0 имеет единственный корень x = xk +1 . В окрестности это-

го корня функция f (xk +1) = 0 разлагается в ряд Тейлора:

f (xk +1) = f (xk + xk ) ≈ f (xk ) + xk f ′(xk ) = 0 ,

где f (xk ) – значение функции в точке xk ; f ′(xk ) – производная функции f (xk ) в этой же точке.

Отсюда следует:

Полученное соотношение – алгоритм итерационного метода Ньютона – Рафсона, который реализуется следующим образом:

1. Задаем начальное приближенное значение искомого решения x0 (k = 0) .

ЛЕКЦИЯ 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

2.Расчет нелинейных цепей методом Ньютона – Рафсона

2.Определяем поправку h0 . Для ее вычисления по выражению функ-

ции находим производную.

3.Определяем уточненное значение корня х1 = х0 + h0 .

4.Повторяем процесс на следующем шаге и уточняем предыдущее решение до необходимой точности.

Геометрическая интерпретация метода приведена на рис. 20.3. Касательные, проведенные в точках xk (k = 0,1,2…) , определяют значение поправ-

ки на соответствующем шаге, так как

Eг U

Рис. 20.3

Метод сходится, если начальное приближение достаточно близко к решению. Однако, если производная f ′(xk ) = 0 , решение невозможно.

Исследования показывают, что сходимость метода Ньютона – Рафсона зависит от значения функции f (x) , ее наклона f ′(x) и от кривизны функции f ′′(x) .

Если для всех х выполняется неравенство

f (x) f ′′(x) < f ′(x) 2 ,

то процесс сходится. При определенных значениях угла наклона ( f ′(x)) и кривизны ( f ′′(x)) процесс может зацикливаться или расходиться, несмотря

на то, что начальное значение лежит относительно близко от искомого решения. Добиться сходимости можно, задав новое нулевое приближение и повторив расчеты. Иногда приходится переходить к уравнениям с новыми переменными.

Эффективен прием улучшения сходимости итерационного процесса, при котором уточненное значение принимается равным

ЛЕКЦИЯ 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

2. Расчет нелинейных цепей методом Ньютона – Рафсона

Сходимость итерационного процесса по (20.2) более медленная, чем по (20.1), но более вероятная.

Вычислим ток в рассмотренном примере методом Ньютона – Рафсона. Для схемы на рис. 20.1 уравнение по второму закону Кирхгофа

RгI +U = Eг .

Отсюда

f (I ) = RгI +U − Eг = 0 .

Так как U = 3I − I 2 , получим уравнение

f (I ) = RгI +3I − I 2 − Eг =8I − I 2 −10 = 0 .

Производная

f ′(I ) =8 − 2I .

Примем ток в нулевом приближении I0 =1 А. Уточненное решение после первого шага:

Уточненное решение после второго шага:

Как видим, правильное решение получаем гораздо быстрее, чем в случае простой итерации.

ЛЕКЦИЯ 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

Вопросыдлясамопроверки

1.В чем суть метода итераций?

2.Какова графическая иллюстрация метода простых итераций?

3.Каково условие сходимости простого итерационного процесса?

4.Каков алгоритм итерационного метода Ньютона – Рафсона?

5.Какова графическая иллюстрация метода Ньютона – Рафсона?

6.От чего зависит сходимость метода Ньютона – Рафсона?