ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания предназначены для студентов электротехнических специальностей заочной формы обучения, изучающих курс «Теоретические основы электротехники» (ТОЭ), «Общая электротехника и электроника», «Электротехника и электроника» и могут быть использованы студентами других специальностей при выполнении контрольных работ.

Целью методических указаний является ознакомление студентов с методами расчета линейных электрических цепей и оказание им методической помощи в производстве и оформлении этих расчетов.

Методические указания содержат краткие теоретические сведения и примеры расчёта линейных электрических цепей постоянного, синусоидального и несинусоидального токов в установившемся режиме. По своему содержанию они охватывают следующие разделы курса: эквивалентные преобразования в электрических цепях, резистивные электрические цепи с независимыми источниками питания, анализ установившегося режима электрических цепей переменного тока в частотной области.

1. Расчет и анализ РезисТивных электрических цепей

1.1. Краткие теоретические сведения

1.1.1. Метод узловых напряжений.

Одно из важных достоинств широко используемого на практике расчета с применением метода узловых напряжений заключается в относительно простой процедуре формирования уравнений как по самой схеме, так и с помощью топологических матриц [1].

Для получения системы уравнений узловых напряжений по схеме предварительно выбирают базисный или опорный узел, потенциал которого принимают равным нулю. Напряжение в остальных (n_y-1) узлах находят относительно потенциала опорного узла. Правая часть каждого из уравнений системы представляет алгебраическую сумму токов всех источников тока, присоединенных к данному узлу, включая эквивалентные; коэффициентами левой части при неизвестных узловых напряжениях будут собственная и взаимные проводимости этого узла.

Для независимых узлов систему уравнений относительно узловых напряжений можно записать в следующем виде:

………………………………

(1)

где n_y – rоличество узлов электрической цепи;

U_n – напряжение в n узле;

g_nn – собственная проводимость узла n;

g_kn – взаимная проводимость между узлами k и n (k=1,2,3,…; k≠n);

J_nn – алгебраическая сумма токов источников тока узла n.

Таким образом система уравнений (1) представляет собой закон Кирхгофа для токов.

Коэффициент g_nn входит в уравнения со знаком "плюс" и равен сумме проводимостей всех резистивных ветвей, присоединенных к n узлу. Коэффициент g_kn входит в уравнение со знаком "минус" и равен проводимости ветвей, соединяющих узлы k и n. Ток J_nn определяют из условия, что токи источников тока, направленные к узлу n берут с положительным знаком; токи, направленные от узла – с отрицательным знаком.

После решения системы (1) и нахождения узловых напряжений производится расчет токов в ветвях электрической цепи на основании закона Ома:

(2)

где I – ток в ветви, соединяющей узлы k и n;

U_K – потенциал узла, из которого ток направлен; берется со знаком "плюс";

U_n – потенциал узда, в который ток направлен; берется со знаком "минус";

E_kn – действующая в ветви э.д.с., взятая с положительным знаком, если ее направление совпадает с направлением тока и со знаком "минус", если не совпадает

g_kn – проводимость ветви, соединяющей узды k и n.

1.1.2. Метод контурных токов.

Основой метода является закон Кирхгофа для напряжений независимого контура. Для формирования уравнений относительно контурных токов необходимо определить по схеме число независимых контуров, указать одинаковое для всех независимых контуров направление контурных токов. После чего записать уравнения контурных токов, выбрав направление обхода контура в направлении соответствующего контурного тока.

Для n независимых контуров систему уравнений относительно контурных токов можно записать в следующем виде:

R₁₁I₁₁ + R₁₂I₂₂ + R₁₃I₃₃ … R_1nI_nn = E₁₁

R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ + R₂₃I₃₃ … R_2nI_nn = E₂₂ (3)

R₃₁I₁₁ + R₃₂I₂₂ + R₃₃I₃₃ … R_3nI_nn = E₃₃

_{……………………………………………………………..}

R_n1I₁₁ + R_n2I₂₂ + R_n3I₃₃ … R_nnI_nn = E_nn , где

R_nn – собственное сопротивление контура: положительный коэффициент, численно равный сумме сопротивлений ветвей контура;

R_kn – сопротивление общих ветвей между контурами k и n : отрицательный коэффициент, равный сумме сопротивлений общих ветвей;

E_nn – контурная э.д.с., численно равная алгебраической сумме э.д.с. источников напряжения контура.

В результате решения системы уравнений будут найдены контурные токи независимых контуров. После чего определяют токи в ветвях электрической цепи.

1.1.3. Расчет тока с применением метода эквивалентного источника напряжения

В соответствии с теоремой об эквивалентном источнике [2], электрическую цепь относительно выводов ветви, в которой предстоит найти ток, можно заменить одним эквивалентным источником напряжения.

Для расчета э.д.с. Е_ЭК и внутреннего сопротивления R₀ источника необходимо исключить резистор из расчетной ветви (рис.1). Напряжение U₀ и сопротивление R_ВХ, найденные относительно выводов разомкнутой ветви являются искомыми параметрами источника напряжения:

;

В результате получим расчетную схему, приведенную на рис. 2

Рис.1	Рис.2

Из схемы следует, что ток I в заданной ветви определяется по формуле:

(4)

где R – сопротивление резистора ветви.

Полученное значение тока должно совпадать с результатом расчета этого тока с применением метода узловых напряжений и метода контурных токов.

1.1.4. Баланс мощности

На основании закона сохранения энергии мощность, определяющая интенсивность необратимых процессов, связанных с потреблением энергии, должна быть равна мощности, связанной с выработкой энергии источниками напряжения и тока:

, где

(5)

Р_И - мощность всех источников;

–мощность источников э.д.с.;

–мощность источников тока;

–мощность нагрузки.

В алгебраической сумме положительны те слагаемые для которых направление тока ветви совпадает с действующей в ней э.д.с.; слагаемые, для которых это условие не выполняется – отрицательны.

В алгебраической сумме положительны те слагаемые, для которых напряжениена зажимах источника и его токсовпадают по направлению при обходе контура, образованного напряжениеми ветвью с источником тока; слагаемые, для которых это условие не выполняется – отрицательны.

1.1.5. Расчет и построение потенциальной диаграммы

Для расчета потенциалов в точках соединения элементов контура предварительно выбирают точку, потенциал которой принимают равным нулю, В качестве такой может быть взята любая точка заданного контура. Потенциал в каждой последующей точке зависит от того, какой элемент включен на расчетном участке. Потенциал в конце участка, содержащего источник напряжения, зависит от направления э.д.с. Если э.д.с. действует в направлении обхода контура, то потенциал в конце участка равен:

где – потенциал в начале участка.

Если действие э.д.с. и направление обхода контура не совпадают, то

Потенциал в конце участка с сопротивлением R зависит от направления тока. Если ток направлен от узла 1 к узлу 2, то потенциал в конце участка равен:

если наоборот, то

Для наглядной иллюстрации распределения потенциала в контуре строят потенциальную диаграмму , гдеR – текущее значение сопротивления при обходе контура.

1.2. Содержание задания.

Содержание соответствует заданию 1 задача 1.1 для студентов-заочников технических специальностей высших учебных заведений.

Для заданного варианта исходных данных:

1. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа в символьном виде.

2. Рассчитать токи в ветвях методом контурных токов.

3. Рассчитать токи в ветвях методом узловых напряжений.

4. Проверить баланс мощности.

5. Используя метод эквивалентного источника напряжения, найти ток в ветви с сопротивлением R₁.

6. Рассчитать потенциалы в точках соединения элементов внешнего контура, включая ветви, соединенные с землей.

Построить потенциальную диаграмму.

1.3. Указания к расчету

1. Выбор варианта.

Вариант задания определяется двумя последними цифрами номера зачётной книжки студента.

2. Для получения системы уравнений узловых напряжений и контурных токов следует выполнить следующие действия:

– в соответствии с количеством независимых узлов и контуров записать уравнения в общем виде (1) и (3);

– записать в символьном виде и рассчитать коэффициенты левой части и правую часть каждого из уравнений системы; подставить полученные значения коэффициентов и правой части в исходные уравнения;

3. Решение уравнений после подстановки численных значений коэффициентов и правой части в каждое из уравнений выполняется на ЭВМ.

4. Проверка баланса мощности производится в соответствии с указаниями и формулами, приведенными в разделе 1.1.4.

5. Для расчета э.д.с. и внутреннего сопротивления эквивалентного источника напряжения можно использовать один из двух следующих подходов:

5.1. На основании закона Кирхгофа для напряжений и методов эквивалентного преобразования электрической цепи расчет U₀ = Е_эк и R_вх = R₀ производится в следующем порядке:

- представить схему электрической цепи после исключения из расчетной ветви сопротивления R; полярность напряжения U₀ в разрыве ветви определяется направлением тока I, принятом в начале расчёта;

– составить уравнение для произвольного контура, включающего U₀, по закону Кирхгофа для напряжений;

– рассчитать неизвестные токи, входящие в уравнение контура, используя метод узловых напряжений (в частном случае метод 2-х узлов);

– найденные токи подставить в уравнение для произвольного контура и решить его относительно U₀.

- расчет входного сопротивления относительно выводов разомкнутой ветви производится для пассивной цепи на основании эквивалентного преобразования «треугольник» - «звезда» или «звезда» - «треугольник».

5.2. На основании метода узловых напряжений и метода контурных токов. Порядок определения параметров эквивалентного источника напряжения и пример расчёта их на основании этих методов представлен в приложении .

6. Представить схему контура, для которого предстоит выполнить расчет потенциалов. Ввести обозначение точек соединения элементов и указать направление э.д.с. и тока на каждом расчетном участке. Расчет производится в соответствии с выражениями, приведенными в разделе 1.1.5. По данным расчета, представленным в форме таблицы, строится потенциальная диаграмма.

Таблица 2

R, Ом
U, В