2. Анализ установившегося синусоидального РежимА в

ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Задачей анализа установившегося синусоидального режима является расчет амплитуды и фазы соответствующей реакции (тока иди напряжения) электрической цепи при воздействии на входе ее источника сигналов синусоидальной формы. В отличие от реакции цепей при постоянной внешнем воздействии, синусоидальные напряжения u(t) токи являются периодическими функциями времени. Связь между ними на элементахL и С описываются известными дифференциальными или интегральными уравнениями. Используя алгебру комплексных чисел, можно интегрально-дифференциальные уравнения относительно действительных функций u(t) и преобразовать в уравнения алгебраические относительно их комплексных амплитуд [1], которые не зависят от времени и являются функциями угловой частоты ω. По окончании расчета, выполненного относительно комплексных величин, необходимо осуществить обратное преобразование комплексных токов и напряжений в действительные функции токаи напряженияu(t). Такой подход к анализу установившегося синусоидального режима находит широкое применение в теории электрических цепей. Он является одним из простейших методов анализа в частотной области и называется комплексным методом или методом комплексных амплитуд.

2.1. Краткие теоретические сведения

Как известно, любое комплексное число, может быть представлено в алгебраической, тригонометрической и показательной формах:

(6)

где – модуль комплексного числа;

–аргумент комплексного числа.

В выражении (6) модуль и аргумент комплексного числа – произвольные числа.

Если допустить, что ,, то синусоидальную функцию токаможно изобразить в виде:

где – мгновенное значение тока;

–комплексная амплитуда, вещественный модуль которой равен амплитуде, а аргумент – начальной фазе тока .

Таким образом, представляется возможным для произвольной синусоидальной функции записать соответствующее комплексное число. При этом используют следующую форму записи:

или

(7)

где – знак соответствия;

–комплекс действующего значения тока; в дальнейшей комплексный ток.

В выражении (7) опущен множитель , т.к. он является общим для всех синусоидальных функций, входящих в уравнения электрической цепи, и, очевидно, может быть сокращен.

Запись мгновенного значения функции по заданной комплексной амплитуде производится просто. Например, если , то

(8)

Данную процедуру можно считать обратным преобразованием из частотной области во временную.

При переходе к комплексным амплитудам операции дифференцирования и интегрирования относительно мгновенных значений u(t) или заменяется операциями умножения и деления наjω соответствующих комплексных амплитуд.

Например

(9)

(10)

где – комплексное индуктивное сопротивление;

–комплексное емкостное сопротивление.

Из соотношений (9) и (10) следует, что анализ в частотной области позволяет ввести понятие комплексного сопротивления для индуктивности и емкости и получить уравнения для этих элементов, аналогичные уравнению резистивного элемента. Следовательно, представляется возможным формально подойти к расчету цепей синусоидального тока с элементами R, L и C так же, как к расчету резистивных цепей.

Например, для электрической цепи, в которой все элементы представлены в виде комплексных сопротивлений Z ветвей с неизвестными токами , система уравнений узловых напряжений имеет вид:

……………………………

(11)

где y_nn – собственная комплексная проводимость узда n;

y_nk – взаимная комплексная проводимость ветви между уздами n и k.

Приведенная система уравнений формально совпадает с системой (1).

Сохраняется при этом и порядок расчета правой части и комплексных коэффициентов левой части каждого из уравнений.

После расчета узловых напряжений по аналогии с (8) находится ток:

(12)

Формальная аналогия с уравнениями резистивных цепей может быть использована при анализе установившегося синусоидального режима методами контурных токов, эквивалентного генератора, наложения и т.д.

Как известно, в электрических цепях синусоидального тока различают активную, реактивную и полную мощности. Наиболее просто их можно рассчитать используя выражение для полной мощности в комплексной форме:

(13)

где – активная мощность (Вт);

–реактивная мощность (ВАР);

–сопряженный комплекс тока;

φ – угол сдвига фаз между и.

Из выражения (13) следует, что модуль полной мощности равен:

(ВА)

Положительный знак при мнимой части соответствует активно-индуктивной нагрузке, отрицательный – активно-емкостной.

Если сопротивление Z нагрузки известно, то расчет полной мощности нагрузки можно выполнить по формуле:

(14)

где Z – комплексное сопротивление;

–модуль комплексного сопротивления;

I – модуль действующего значения тока.

Расчет полной мощности источников в комплексной форме можно выполнить по формулам:

= (15) - для источника э.д.с. (источника напряжения), где

- сопряженный комплекс тока источника э.д.с.;

= (16) - для источника тока, где - комплекс напряжения источника;

- сопряженный комплекс тока источника тока.

Проверка баланса мощности производится обычным порядком (см. раздел 1.1.4.), раздельно для каждой из мощностей.

2.2. Содержание задания.

Содержание соответствует заданию 1 задача 1.2. для студентов-заочников технических специальностей высших учебных заведений

Для заданного варианта исходных данных:

1. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа в дифференциальной и комплексной формах.

2. Найти комплексы действующих значений токов всех ветвей электрической цепи. Записать выражения для мгновенных значений этих величин.

3. Определить показания приборов.

4. Проверить баланс активной, реактивной и полной мощностей..

5. Написать выражения мгновенных значений напряжения и тока на входе приемника; построить графики этих величин.

6. Составить по законам Кирхгофа уравнения в дифференциальной и комплексной формах с учетом взаимной индукции между индуктивными элементами L2 и L3 и встречного включения их.

2.3. Указания к расчету.

1. Выбор варианта.

Вариант задания определяется двумя последними цифрами номера зачётной книжки студента.

2. Для записи уравнений в комплексной форме необходимо представить комплексную расчетную схему, в которой элементы R, L и С заменяются комплексными сопротивлениями Z (проводимостями Y) ветвей ( 9,10) с неизвестными токами и напряжениями(или_m и _m ) .

3. Система алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами решается любым известным методом относительно узловых напряжений. Расчет тока производится в соответствии с выражением (12).

Запись мгновенных значений выполняется на основании обратного преобразования из частотной области во временную ( 8 ).

4. Расчет по пункту 4 производится в соответствии и на основании расчетных формул (13), (14), (15) и (16).

5. Графики напряжения и тока на входе приемника должны быть построены в масштабе по результатам расчета, представленного в форме таблицы 4. или в графическом редакторе математического пакета Matchcad.

Таблица 4

ωt
u, В
i, А

На графиках следует показать начальные фазы, угол сдвига фаз φ и амплитуды представленных величин.