|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для выбранных |
значений |
(η = |
|
|
|
|
|
определим |
1,5) и ωη = 0,2414 |
значения модуля λη |
|
|
(S = jωη ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 ( jω1 ) |
|
= 0,146 , |
|
|
|
|
λ5 ( jω5 ) |
|
= 0,0292 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как ωη являются точками среза модуля разомкнутой системы, то значения коэффициентов усиления регулятора в этих точках равны:
M1 = |
I |
, |
|
|
|
|
|
M 5 = |
|
I |
|
0,146 |
|
|
|
0,0292 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравнивая |
|
|
вычисленные |
|
|
|
значения |
|
|
M1, M 5 |
к |
K1(G) (G = G1, G = G5 ) (см. п. 3.3), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n1 − |
1 |
|
0,247 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= E1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(3.55) |
|
|
0,146 |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n1 |
−1 |
|
|
6,853 |
|
|
|
|
|
= |
E1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
. |
|
|
0,0292 |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Рассматривая совместно уравнения |
|
(3.515), придем к следующему |
результату: n1 = 2,37 , |
Е1 =10,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3.2.2 Определение запасов устойчивости разомкнутой системы
Разомкнутая система состоит из регулятора и объекта. Запасы устойчивости по фазе могут быть определены из следующего соотношения:
ϕη =π + arctg(Im(λη ( j ω*η )) / Re(λη ( j ω*η ))) +ϕη (ω*η )
(η =1,5) ,
где ϕη — фазовая характеристика регулятора, которая определяется в соответствии с (3.28);
ω*η — значения частот среза модуля разомкнутой системы, которые определяются из следующего уравнения:
λη ( j ω*η ) Mη (ω*η ) =1;
Mη — амплитудная характеристика регулятора (см. 3.27)
Запасы устойчивости по модулю определяются из соотношения:
Lη = −20 lg( |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
(η =1,5) , |
|
λη ( jωη ) |
|
Mη (ωη )), |
где ω~η - частоты среза, которые могут быть определены из следующего уравнения:
−π = arctg(Im(λη ( jω~)η )) / Re(λη ( jω~η ))) +ϕη (ω~η )
Врассматриваемом примере фазовые характеристики не пересекают
линию −π , |
а следовательно, значений |
~ |
|
не существует. При |
ωη |
использовании вычисленных значений параметров |
регулятора |
были |
определены |
запасы устойчивости по фазе |
разомкнутой системы и |
значения ω*η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 = 0,872 |
ϕ 2 |
= 0,898 |
ϕ3 |
= 0,986 |
ϕ |
4 = 0,891 |
ϕ5 |
= 0,872 |
|
|
= 0,223 |
|
= 0,214 |
|
|
0,236 |
|
|
ω 1 = 0,241 |
ω 2 |
ω 3 |
ω 4 |
= |
ω 5 = 0,241 |
3.3.2.3 Моделирование работы замкнутой системы управления
Для моделирования работы замкнутой системы управления запишем алгоритм управления в векторном виде:
U (s) = B1 F(s) + 0,14 / s F(s) + 2,3 s F(s) , |
(3.56) |
где
|
|
C |
C |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
C2 |
0 |
0 |
|
B1 |
|
C2 |
C1 |
|
=10,01 |
|
0 |
C2 |
C1 |
C2 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
C |
2 |
C |
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
C |
2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
C1 = 3,37 / 2,37 ;
C2 = −1/ 2,37 ;
U (s) - вектор функция выхода;
F(s) - вектор функция входа в регулятор.
Переходя от операторной формы записи (3.56) к форме записи в пространстве состояний и записывая дискретный аналог полученного управления, будем иметь:
Uγ = B1 Fγ |
+ 0,14 ∑Fγ τ + 2,3 (Fγ − Fγ −1 ) / τ , |
(γ =1,2...), |
|
γ |
|
где: τ - шаг дискретизации по времени; γ - точки дискретизации по времени;
F0 - вектор начальных значений функции F(τ) .
Структурная схема замкнутой системы управления приведена на рис.3.17. На рис. 3.18 показаны графики функции выхода объекта управления. При этом на выход системы было подано воздействие
Fвх = [Fξ,вх ], |
(ξ = |
|
|
1,5) , |
где Fξ,вх =10 (ξ +1), (ξ =1,5) .
Рис. 3.17 Структурная схема системы управления
Рис. 3.18 Графики изменения функции выхода объекта управления.
3.3.3 Общие замечания к синтезу регуляторов многомерных систем
Положим, |
что |
χη , |
(η = |
1, n |
) (дискретные аналоги |
пространственных мод) не |
являются собственными векторами матрицы |
W ( jω). В этом случае может быть определена корректирующая матрица
Wк из условия, что χη , |
(η = |
1, n |
) являются собственными |
векторами |
матрицы Wc , Wc =W Wк . |
Wc могут быть определены из |
следующего |
Значения матрицы |
уравнения: |
|
|
|
|
|
Wc χη =Wη χη |
(3.57) |
Преобразуя, получим:
где
153
A |
|
|
B |
|
|
C |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
. |
|
, |
. |
|
, |
. |
|
, |
A = . |
|
B = . |
|
C = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
A |
|
|
B |
n |
|
|
C |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
χη,1 |
χη,2 |
K χη,n |
0 |
0 |
0 |
K |
|
|
|
|
0 |
0 |
K 0 |
χη,1 |
χη,2 |
K χη,n |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
, |
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 K K |
|
χη,1 |
χη,2 |
|
|
|
|
|
K χη,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
ξ,1 |
|
W |
|
|
|
|
|
|
. |
|
B |
= |
. |
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
C |
ξ,n |
|
W |
|
|
|
|
xξ ,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
, |
C ξ = W ξ |
|
|
|
, |
|
. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
x |
ξ ,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
(ξ =1, n) ;
где : WξC,i - элемент матрицы W C ;
W ξ - заданные функции.
Решение уравнения (3.58) существует, так как матрица А не вырождена. Следовательно, с использованием уравнения (3.58), может быть определена корректирующая матрица Wк для рассматриваемой системы.
РАЗДЕЛ №4. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.
4.1Система управления температурным полем камеры спекания световодов
4.1.1.Описание объекта управления
Технологический процесс спекания многожильных жестких световодов (МЖС) осуществляется следующим образом. Заготовку в виде цилиндрического стержня помещают внутрь камеры и выдерживают заданное время при заданной температуре. Далее создают тепловую волну, которая перемещается по всей длине заготовки. Параметры тепловой волны определяются требованиями технологии. Процесс спекания осуществляется в камере, в которую под высоким давлением (до 40 атмосфер) закачивается инертный газ. Движение тепловой волны можно осуществить следующими способами:
а) механически, когда либо заготовка, либо нагреватель имеют возможность перемещаться вдоль камеры. Но так как спекание осуществляется при высоком давлении, то обеспечить механические перемещения сложно;
б) с помощью программного изменения температуры вдоль длины заготовки. Для этих целей в камере устанавливают секционный
нагреватель, длина |
которого |
не менее длины заготовки. В начале |
технологического |
цикла |
программное устройство обеспечивает |
стабилизацию требуемого температурного поля по длине камеры. Далее осуществляется движение тепловой волны вдоль камеры посредством управления мощностью каждой секции секционного нагревателя. Этот способ и был реализован в рассматриваемой установке.
Конструктивно нагревательная камера состоит из корпуса - 1 (см. рис. 4.1) и секционного нагревателя - 2 (число секций равно 15).
Информация |
о состоянии температурного |
поля снимается |
с 15-ти |
датчиков - 3 |
, расположенных внутри камеры |
в точках { |
|
, xγ }. |
Концы |
R |
камеры закрыты крышами - 4, которые оборудованы специальными выводами для подвода энергии к нагревателям и передачи информации от термопар. Кроме того, имеется специальная крышка - 5 для установки в камеру заготовки - 6. Геометрические параметры камеры приведены в табл. 8.1.
Таблица 4.1 Геометрические параметры камеры
Lk ,мм |
Lн,мм |
Lзаг ,мм |
R1,мм |
R2 ,мм |
R3 ,мм |
|
R |
,мм |
480 |
450 |
400 |
21 |
27 |
29 |
25 |
L заг.
Рис. 4.1. Нагревательная камера
Ставится задача определения параметров распределенного высокочастотного регулятора (РВР) для системы управления температурным полем рассмотренной выше нагревательной камеры
4.1.2 Анализ объекта управления |
|
|
Математическая |
модель |
рассмотренной |
выше |
нагревательной камеры описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Передаточные функции таких объектов управления могут быть представлены в виде совокупности
передаточных функций по каждой пространственной моде. В /20. 12/ показано, что для тепловых объектов управления передаточные функции по каждой моде входного воздействия могут быть аппроксимированы передаточными функциями вида:
|
|
Kη |
|
−τ |
S |
|
|
|
W |
(S) = |
|
|
e |
η |
|
, |
(η =1,2...) |
(4.1) |
|
|
|
|
η |
|
Tη S +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения |
параметров |
|
Kη , |
Tη , τη |
определяется |
при |
использовании экспериментальных данных /37/.
Рис. 4.2. Структурная схема системы управления.
При определении указанных параметров для η=1,3,5 учитывались
динамические свойства как процесса распространения теплового поля внутри камеры, так и блока ЦАП, усилителя мощности, измерительного устройства и блока АЦП (см. рис. 4.2). Вычисленные значения равны:
K1 = 6,3; |
T1 = 202; |
τ1 =12; |
K3 |
= 0,5; |
T3 =130; |
τ3 =12; |
K5 |
= 0,012; T5 = 86; |
τ5 =12. |
При этом в качестве пространственных мод были выбраны функции:
sin(Ψη x), Ψη =π η / Lк
Для частотного анализа объекта положим в (4.1)
S = jω
(где ω - круговая частота) и определим модуль Mη и фазу ϕη :
Mη (ω) = |
Kη |
|
(4.2.) |
((T ω)2 |
+1)1/ 2 |
|
η |
|
|
(η =1,2...),
ϕη (ω) = −ω τη − arctg(Tη ω)
(4.3)
4.1.3 Синтез регулятора
Постановка задачи: для системы управления объектов, передаточные функции которого заданы в виде (4.1.), синтезировать распределенный высокоточный регулятор со следующими показателями: запас
устойчивости по фазе - ϕ ≥π / 6; значение параметров |
=0,45 (см. п. |
3.3.). |
|
Синтез распределенного регулятора
Положим, что фазовый сдвиг, вносимый в систему регулятором равен нулю. Тогда для определения частот среза модуля разомкнутой системы, в соответствии с (4.3), получим следующее уравнение:
−π + ϕη = −ωτη − arctg(Tη ω);
(η =1,2...). (4.4.)
Подставляя значение Tη , τη и ϕη =π / 6 в (4.4.), определим значение
частот среза модуля: |
|
|
η =1, |
ω = 0,0928; |
η = 5, |
ω5 = 0,0995. |
Определение |
параметров регулятора |
будем осуществлять, исходя из |
условия, что значение частот ωη принадлежит линии перегиба (см. п. 3.3.) Для частот ωη , принадлежащих линии перегиба, фазовый сдвиг, вносимый в разомкнутую систему регулятором, равен нулю. Подставляя ω =ω1, ω =ω5 в (3.30), получим следующую систему уравнений:
158
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
−1 |
|
|
Ψ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
−1 |
|
|
|
Ψ |
2 |
|
|
|
|
|
lgω |
|
|
= 0,5 lg E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
− 0,5 |
lg E |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
, |
(4.5.) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
−1 |
|
|
Ψ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
−1 |
|
|
Ψ |
2 |
|
|
|
|
|
lgω |
5 |
|
= 0,5 lg E |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
5 |
|
|
− 0,5 |
lg E |
2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
5 |
|
|
|
, |
(4.6.) |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычитая из (4.6) (4.5), придем к следующему результату: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
−1 + Ψ |
|
2 |
n |
2 |
−1 + Ψ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg |
ω 2 |
= lg |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
− lg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(4.7.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 + Ψ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
−1 + Ψ |
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω 2 = |
ω |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω 2 >1, то положим в |
Используя (4.7), определим значения n2 и n4 . Так как |
(4.6.) n2 = ∞. Тогда |
n4 определяется соотношением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n4 = |
( ω 2 −1 + Ψ2 |
− ω |
2 Ψ2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.8.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
( |
|
|
ω 2 −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом на изменение значения n4 , |
в соответствии с п.3.3, |
наложено |
ограничение n4 ≥1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в (4.8) значения Ψ1, |
Ψ5 , ω1, ω5 получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n4 = 6693 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0,45 ), получим: |
Рассматривая совместно уравнение (4.5) и (3.33) ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е4 = 0,053, |
|
|
|
|
|
|
Е2 = 6,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя ω =ω1, |
|
ω =ω5 в (4.2), определим значения модуля: |
М1 = 0,33, |
|
|
|
М5 = 0,0139 . |
|
Так |
как |
|
|
|
ω1, ω5 |
|
являются |
частотами |
среза модуля разомкнутой системы, то коэффициенты усиления регулятора в этих точках равны:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = (М1)−1, |
|
|
|
|
|
|
|
5 = (М5 )−1. |
(4.9.) |
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
М |
Определение параметров n1 и E1 будем |
осуществлять, исходя из |
условия |
|
|
1 |
= Мmin , |
|
5 |
= Мmin |
|
|
- (см.п.3.3.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
М |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
1 |
= E |
|
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
, |
(4.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
