Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Bystrov_Grigorye_Pershin_-_Sintez_raspredelennykh_regulyatorov

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
3.83 Mб
Скачать

3.2 Синтез регуляторов для распределенных систем управления с векторным входным воздействием

В предыдущих разделах были рассмотрены вопросы синтеза

регуляторов для

систем

управления распределенными объектами,

При этом полагалось, что система имеет один вход и один выход.

Многие полученные ранее результаты могут быть использованы при

синтезе регуляторов

для

систем управления

распределенными

объектами,

не

принадлежащими к классу

пространственно-

инвариантных, а также при синтезе регуляторов, для систем управления с

векторным входным воздействием.

 

 

 

В

этом

разделе

приводится

графическая

интерпретация

критерия

Найквиста

для

оценки

устойчивости

систем, не

принадлежащих к классу пространственно — инвариантных,

С

использованием

графической

интерпретации критерия

устойчивости Найквиста разработана методика синтеза регуляторов для распределенных систем с векторным входным воздействием.

3.2.1 Общие замечания к синтезу систем, не принадлежащих к классу пространственно - инвариантных

Приведем основной результат, полученный в /35/ относительно обобщения критерия Найквиста на случай распределенных систем, структурная схема которых показана на рис. 5.1. (где К — скаляр; I — единичная матрица (m х m): G ( s ) - матрица размерами m x m, элементы которой являются рациональными функциями

G(s) = H (s) (D(s)) 1;

limdetD(s) =const0.

S→∞

Исследуя

m

 

λ i (s)) .

det [I + K G (s)]= Ï (1

+ K

i =1

 

 

в / 35 / показано, что если передаточная матрица разомкнутой системы не имеет полюсов, лежащих в правой полуплоскости S, то для устойчивости замкнутой системы достаточно, чтобы годографы вектора собственных значений (λi ( jω) ) не охватили точку с координатами

130

Re = −1/ K ; Im = 0 .

Рис. 3.9. Система управления.

Рис. 3.10. Распределенная система управления.

Рис. 3.11. Преобразованная структурная схема.

Полученный результат обобщается и на системы управления, структурная схема которых показана на рис. 3.10. (где R(x, s) -

передаточная функция регулятора). Полагаем, что регулятор принадлежит

к классу пространственно-инвариантных ( f (x, s) -

входное воздействие,

T (x, s) - функция выхода).

 

Структурная схема, представленная на рис.

3.10, может быть

 

~

преобразована к схеме, представленной на рис. 3.11, где Ф - блок,

символизирующий операцию разложения функции

f(x,s) в ряд Фурье по

пространственной координате; f (s) вектор коэффициентов разложения

131

функции f (x, s) в

ряд

Фурье (f

(s) = [fi (s)];i =

 

);

1,

ˆ

 

матрица регулятора.

R(s) - передаточная

Так как регулятор обладает свойством пространственной инвариантности, то передаточная матрица регулятора имеет диагональную

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

= diagRη,η ;

η =1, ); W – передаточная матрица объекта

форму ( R

(W = [Wη,i ];

 

η, i =

 

);

Wη,i - реакция объекта по η-му выходу на i—й

1,

вход (η, i =

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, ); S - блок, выполняющий операцию умножения входного

воздействия на вектор, состоящий из тригонометрических функций. Если

входное воздействие

представлено в

виде

ряда Фурье по sin(.), то

 

~

 

 

 

 

 

 

передаточная матрица блока S имеет вид:

 

 

 

~

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

[sin(Ψi x)], i =1, , ( S - вектор-строка).

Если входное воздействие представлено в виде ряда Фурье по cos(.),

то

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

x)], i

 

 

 

 

 

=1, .

 

S = [cos(Ψi

Для асимптотической устойчивости системы, представленной на рис. 5.3, достаточно обеспечить асимптотическую устойчивость контура

1.

Передаточная матрица блока 1 (рис. 3.11) может быть записана на виде:

Ô(s) = [I +W R]1 W R

Рассмотрим формирование структуры передаточной матрицы регулятора R . Положим, что регулятор выбран в виде идеального пространственно-интегрирующего звена, передаточная функция которого записывается в виде следующего соотношения:

 

n

4

1

 

1

 

2

 

 

1

 

R(x, s) = E4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

n4

n4

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

Представляя входное воздействие в виде ряда Фурье по пространственным координатам, и определив передаточную функцию по каждой составляющей ряда входного воздействия, получим

132

 

n

4

1

 

1

2

 

 

1

 

Rη (x, s) = E4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

+

 

Ψη

 

 

 

n4

n4

 

s

 

 

 

 

 

 

 

(η =1, ) .

Передаточная матрица регулятора R может быть представлена в виде:

 

~

 

0

 

 

R

~

 

 

1,1

 

 

,

R =

 

R2,2

 

 

 

0

 

K

 

 

 

 

 

 

 

~

)

где Rη,η (s) = Rη (s) , (η =1,

Таким образом, передаточная матрица разомкнутой системы имеет

вид

W11

~

(s), W12

~

 

(s),

K

 

(s) R11

(s) R22

 

 

 

~

 

 

~

(s),

 

 

W

21

(s) R (s), W

22

(s) R

 

K

(3.30)

Фp (s) =

~11

 

~22

(s),

 

W (s) R (s), W (s) R

22

K

 

 

31

11

 

32

 

 

 

 

 

 

K

 

 

K

 

 

K

 

Если на вход системы, структурная схема которой приведена на рис. 3.11, подать входное воздействие

f (x, s) = C1(s) sin(Ψ1 x) ,

то на выходе разомкнутой системы будем иметь

~

Фp (s) f ,

(3.31)

T (x, s) = s

где

 

 

C (s)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

=

0

 

 

f

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

Преобразуя (3.31), получим

133

T (x, s) = С1(s) Wi,1(s) R1,1(s) sin(Ψ1 x) . i=1

Рис. 3.12. Годографы собственных значений.

Подставляя в (3.30) S = jω , получим матрицу комплексных

передаточных коэффициентов разомкнутой системы.

Положим, что может быть определен бесконечный спектр

* *

собственных значений матрицы Фp ( j ω) (где ω фиксированное

*

значение частоты ω [0, ]).

*

Изменяя значение ω от 0 до , построим годографы спектра собственных значений (при этом полагаем E4 и n4 — заданные числа). Пусть передаточная функция разомкнутой системы не имеет полюсов, лежащих в правой полуплоскости S, тогда для устойчивости замкнутой системы достаточно, чтобы бесконечный спектр годографов собственных

значений ( λi ( jω), i =

1,

) не охватывал точку с

координатами

Re = −1, Im = 0 (на рис. 3.12 показаны годографы для первых четырех

собственных значений). Для оценки устойчивости замкнутой системы могут быть использованы амплитудная и фазовая частотные характеристики годографов собственных значений. При построении характеристик будем полагать, что λ1(0) > λ2 (0) > λ3 (0) > ...

134

( i =

Li = 20 lg

 

λi ( jω)

 

,

ϕi = arctg(Im λi ( jω) / Re λi ( jω)),

 

 

 

).

 

1,

 

(См. рис. 3.13 )

 

Рис. 3.13. Построение линий среза модуля и фазы. Аналогично п.2.4. строятся линии среза модуля и фазы разомкнутой

системы.

Интерпретация критерия Найквиста с учетом построенных частотных характеристик, приведенных на рис. 3.13, заключается в

135

следующем: пусть передаточная функция разомкнутой системы не имеет полюсов, лежащих в правой полуплоскости. Тогда для устойчивости замкнутой системы достаточно, чтобы линия среза модуля не имела с областью Г общих точек.

Используя полученную интерпретацию критерия Найквиста, можно определить значения коэффициентов E4, n4, при которых замкнутая система будет устойчива и запасы устойчивости годографов собственных значений по модулю и по фазе разомкнутой системы не менее заданных.

3.2.2 Синтез распределенных систем управления с векторным входным воздействием

Методику синтеза рассмотрим на примере синтеза регуляторов для системы управления температурным полем нагревательной камеры, используемой для термической обработки листовых заготовок 1 (см. рис. 3.14). Конструкция нагревательной камеры включает, корпус 2,

два секционных нагревателя

3

(число секций

каждого

секционного

нагревателя равно

20).

 

Внутри

камеры

в

точках

{xi , yv , z1};

{xi , yv , z2}, (i =

 

 

v =

 

) установлены термопары 4.

 

1,5;

1,4

 

Геометрические параметры камеры равны:

 

 

 

 

 

 

z1 = 0,145м;

z2 = 0,085м;

z3 = 0,08м

 

 

 

 

 

z1 = 0,105м;

z2 = 0,04м;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xL = 2,4м;

yL =1,5м;

 

 

 

 

 

xi =

x i,

(i =

 

 

yv = y v,

(v =

 

 

 

 

1,5);

1,4);

 

 

 

 

 

 

 

x = 0,4м;

y = 0,3м.

 

 

 

 

Постановка задачи: для системы управления температурным полем

нагревательной камеры синтезировать распределенные регуляторы R(1)(х, у, s) и R(2)(х, у, s), реализующие пропорционально-интегрально-

дифференциальные законы управления, с учетом ограничений на запасы устойчивости по фазе ϕ(ξ)

ϕ(ξ) 0,8,

(ξ =1,2) .

3.2.2.1 Анализ объекта управления

Для оценки динамических характеристик сформируем математическую модель объекта управления. При этом сделаем следующие допущения: температура на входе и выходе камеры поддерживается постоянной; тепловой поток через боковые стенки камеры

136

равен нулю;

скорость движения заготовки, вследствие малости

(υ = 0,001м/ с),

примем равной нулю. С учетом принятых допущений,

математическая модель объекта управления имеет вид:

 

 

 

T

 

2T

 

2T

 

2T

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

+

 

i

+

 

i

 

,

(3.32)

 

 

 

τ

= a

x

2

у

2

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 < x < xL , 0 < y < yL ,

 

 

zi+1 < z < zi ,

 

Рис. 3.14. Нагревательная камера

Рис. 3.15. Структурная схема системы управления.

Граничные условия для системы уравнений (3.32) задаются

137

следующими соотношениями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λi

Ti (x, y, zi+1,τ)

= λi+1

Ti+1(x, y, zi+1,τ)

,

(3.33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

Ti (x, y, zi+1,τ) =Ti+1 (x, y, zi+1,τ) ,

 

(i =1,2) ,

 

 

 

λ

T1 (x, y, z1 ,τ)

=U

1

(x, y,τ) ,

 

 

 

0 < x < x

L

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ3

 

T3 (x, y,0,τ)

 

=U 2 (x, y,τ) ,

 

 

0 < y < yL ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ti (0, y, z,τ) =Ti (xL , y, z,τ) = 0 ,

 

 

zi+1 < z < zi ,

 

 

 

 

Ti (x,0, z,τ)

 

=

Ti (x, yL , z,τ)

= 0 ,

(i =1,3),

(z4 = 0) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где х, у, z,

— пространственные координаты; τ -

время;

λ1, λ3 -

коэффициент

 

теплопроводности

воздуха

( λ1 = λ3 = 0,059 ),

 

λ2 -

коэффициент

 

 

теплопроводности

материала листовой заготовки

(λ2 = 20,1) ; а1,

а3

 

 

 

коэффициент температуропроводности

воздуха

(а

= а

3

= 0,4 105 ) ;

 

 

а

2

-

коэффициент

 

температуропроводности

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

материала заготовки

(а2 = 0,19 104 ) ; Тi (x, y, z,τ) - температурное поле в

i—й среде;Uξ (x, y,τ)

- ξ -е входное воздействие(ξ =1,2) .

 

 

 

 

 

 

Функциями

 

 

 

 

выхода

 

 

будут

Н1 =Т1(x, y,

 

,τ)

 

и

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

Н2 = Т3 (x, y,

 

,τ) .

Для

 

 

анализа

объекта управления

представим

z2

 

 

U1(x, y,τ) в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U1(x, y,τ) =

e jωτ sin(Ψν x) cos(ϕγ

y)

(3.34)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν,γ =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

Ψ

 

= π ν

;

 

 

 

 

ϕ

= π ν ;

ω - круговая частота.

 

 

 

 

 

 

ν

 

 

 

xL

 

 

 

 

 

 

ν

 

 

yL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая U2=0 и определяя комплексный передаточный коэффициент объекта по каждой составляющей ряда (3.34), получим

 

(1)

 

 

 

 

(1)

 

α1

z

 

 

(1)

 

α z

W

(z

 

, jω) = A

e

1

+ B

e

 

1

 

 

 

 

1 1 ,

1,ν,γ

 

 

ν,γ

 

 

 

 

ν,γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.35)

138

W (2)

(

 

2, jω) = A(3)

eα3

z

21 + B(3)

z

1,ν,γ

 

 

 

 

 

 

ν,γ

 

 

 

 

ν,γ

 

 

 

2

 

2

 

jω

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ψν

+ϕγ

+

 

, (i =1,3) ;

 

где αi =

 

 

 

ai

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eα3z2

значения коэффициентов

Aν(i,γ) и Bν(i,γ) определяется из следующего уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D A = C ,

 

 

 

 

 

 

 

(3.36)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

CT = [1,0,0,0,0,0,];

 

AT = [Aν(1,γ) , Bν(1,γ) , Aν(2,γ) , Bν(2,γ) , Aν(3,γ) , Bν(3,γ) ];

 

 

 

 

 

α1z1

 

 

α e

α1z1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

α e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

α z

 

 

 

1

 

α z

 

 

λ2

 

 

 

 

α z

 

λ2

 

 

 

 

 

 

 

 

α z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α e

 

α

 

 

 

α

 

 

 

e

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

α e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1 2

 

 

1

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α z

 

 

e

α z

 

 

 

1

 

 

α z

 

 

1

 

 

 

 

 

 

α z

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

D =

 

e

1 2

 

 

 

 

 

1 2

 

 

e

2 2

 

 

 

e

 

 

 

2 2

 

 

 

λ3

 

 

 

 

 

 

 

 

λ3

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

α2eα2z3

 

 

α2eα2z3

 

α3eα3z3

 

α3eα3z3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α z

 

 

 

 

 

 

 

 

α z

 

 

 

λ2

 

 

 

 

 

 

 

λ2

α z

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

α z

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

e

3 3

 

 

 

 

 

3 3

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

α3

 

 

α3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем (3.35) в следующем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

α1

(Gη )

z

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

α1 (Gη )

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Gη , z1, jω ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

+

B

(Gη ) e

z

,

 

 

 

 

 

W1

A (Gη ) e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ B(3) eα3 (Gη )

 

2

 

 

 

 

 

 

 

W (2) (G ,

 

 

2, jω ) = A(3) (G ) eα3

z

21

z

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

η

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

η

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(G

 

 

) = (G

 

jω

 

 

1

2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где α

i

 

 

+

 

)

 

(i =1,3) ;

 

 

 

 

G

 

 

- дискретная

функция,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

η

 

 

 

 

η

 

ai

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

η

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

принимающая все значения функции Ψ2

+ ϕ 2

для ν,γ =

 

.

 

 

 

 

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν

 

 

 

 

 

 

 

γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая

 

 

U1 = 0

 

и

 

 

 

 

определяя

 

 

 

 

комплексный передаточный

 

коэффициент объекта, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) = A(3) (G ) eα3

(Gη )

 

2

 

+ B(3) (G ) eα3(Gη )z2 ,

 

 

 

 

W

(2)

(G ,

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

z

2 , jω

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

η

 

 

 

 

 

 

 

 

η

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

η

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

139

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]