Bystrov_Grigorye_Pershin_-_Sintez_raspredelennykh_regulyatorov

∂T3 (LH , r,τ) = 0 ,

∂x

0 < r < R , (4.29.)

где λ1, λ2 - коэффициенты теплопроводности воздуха; λ3 - коэффициент теплопроводности материала стенки трубы.

Граничное условие (4.18) указывает на то, что входным воздействием является тепловой поток нагревателя ( q(x,τ).). Соотношения

(4.19) — (4.23) отражают физические условия неразрывности тепловых полей и тепловых потоков на границах раздела сред. Граничные условия (4.24) — (4.26) указывают на то, что температура в верхней части камеры поддерживается постоянной. Условия (4.27) — (4.29) отражают предположение, что нижняя часть камеры не влияет на температурное поле в верхней части камеры.

Начальные условия полагаются нулевыми.

4.2.3 Конструктивные и теплофизические параметры камеры

Конструктивные параметры камеры, рассмотренной на рис. 7.2, приведены в таблице 4.2. (значения параметров заданы в системе СИ).

LT1 = 0,0125м;

LT2 = 0,0375м;

LT3 = 0,0625м;

LT4 = 0,0875м;

В дальнейших расчетах были использованы следующие теплофизические параметры /36/:

170

для воздуха

λ1 = λ3 = 0,059Вт/(м град); а1 = а3 = 0,4 10−5 м2 / с;

для материала трубы (сталь)

λ2 = 20,112Вт/(м град);

а2 = 0,19 10−4 м2 / с;

4.2.4Анализ объекта управления

Входным воздействием является тепловой поток нагревателя q(x, τ). Функцией выхода будет температурное поле T3 (x, R,τ) .

В соответствии с методикой, изложенной в разделе 1, вычислим частотные характеристики объекта управления. Для этого представим входное воздействие в виде

(4.30)

Вид функции Ψη (η =1, ∞) выбирается, исходя из граничных

условий (4.18) - (4.23).

Найдем реакцию объекта управления в установившемся режиме на

где Hi,η (r,ω) — функции, подлежащие определению. Подставив (7.16) в первое уравнение (4.17), получим:

171

Подставляя (4.35) во второе и третье уравнение (4.17) и произведя аналогичные преобразования, получим:

(4.36)

172

H2,η (r,ω) = A2,η J0 (γ2,η r) + B2,η Y0 (γ2,η r),

(η =1, ∞)

H3,η (r,ω) = A3,η J0 (γ3,η r) + B3,η Y0 (γ3,η r),

(η =1, ∞)

Подставляя (4.38) в граничные условия (4.20), (4.22), (4.19), (4.21) и

преобразуя, получим следующую систему уравнений:

(η =1, ∞).

173

(η =1, ∞).

Из граничного условия (4.23.), согласно /20/, получим:

Таким образом, из полученной системы уравнений (4.40) — (4.44) для каждой фиксированной моды (η) могут быть определены

коэффициенты

Аi,η, (i =1,3; η =1,∞); B1,η (i =1,2; η =1,∞) .

Представим систему уравнений (4.40) - (4.43), с учетом (4.44) в матричной форме записи:

Т - символ, обозначающий транспонирование. Структура матрицы А приведена на рис. 7.3.

Значение вектора Х определяется из соотношения

Вычислив значение вектора Х для каждой фиксированной частоты и

подставив в (4.24), пологая при этом i=3, r = R , определим функцию выхода.

Значение комплексного передаточного коэффициента определяется из следующего соотношения:

(η =1, ∞).

174

Исследуем динамику разомкнутой системы, состоящей из усилителя мощности, объекта управления и измерительного устройства. Входное воздействие моделируем при помощи ЦВМ.

При моделировании учтем, что коэффициент усиления усилителя мощности равен 100. Алгоритм моделирования входного воздействия составлен таким образом, что изменению моделируемого входного воздействия (U) на единицу соответствует изменение мощности (q), действующей на объект управления, на 1 Ватт.

Экспериментально установлено, что при формировании входного воздействия:

первой составляющей ряда (4.14.). Для этого скачком изменим входное воздействие U1на Ui + Ui (i =1,4) .

где Ui —определяется по графику рис. 4.9. (С1 - модуль входного воздействия, который в эксперименте он равен 50).

Моделируя скачкообразное входное воздействие, определим реакцию разомкнутой системы. Вычислим в каждый i-й момент времени функции:

где ТiT - текущее значение температуры в точках установки датчиков

(i =1,4) .

По вычисленным функциям Тi (i =1,4) в каждый j - й момент

времени восстанавливаем функцию рассогласования температурного поля от установившегося значения (см. рис. 7.7.).

177

Рис. 4.8. Структурная схема системы управления.

Рис. 4.9. График входного воздействия.

Разлагая функцию рассогласования Т(x,τi ) (i =1,4) в ряд Фурье по

пространственной координате, определим в каждый j-й момент значения коэффициентов разложения. (В эксперименте были просчитаны первые 5 коэффициентов разложения.). Получено, что модуль первого коэффициента разложения почти на порядок больше всех остальных. Следовательно, разомкнутая система обладает свойством пространственной инвариантности. График первого коэффициента разложения функции рассогласования в ряд Фурье ((D1) приведен на рис 7.8., кривая 1). Аналогично определена реакция разомкнутой системы на 2- ю составляющую ряда входного воздействия (см. рис. 7.8, кривая 2). Аппроксимируем передаточную функцию разомкнутой системы выражением вида:

178