Bystrov_Grigorye_Pershin_-_Sintez_raspredelennykh_regulyatorov

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Григорьев В.В.,Быстров С.В., Першин И.М

Синтез распределенных регуляторов

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2010

1

Григорьев В.В.,Быстров С.В., Першин И.М – СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. – 198с.

Современное развитие компьютерных аппаратных средств, информационных сетей и технологий, телекоммуникаций и исполнительных устройств позволяет проектировать и моделировать различные регуляторы для объектов и систем управления с распределёнными параметрами .

Рассматриваются основные понятия и описания линейных моделей распределённых объектов и их звеньев, объединение звеньев в блоки, математические модели распределённого регулятора. Исследуются методы синтеза регуляторов для систем с распределёнными параметрами. На реальном примере вытяжки световодов, рассматриваются этапы проектирования таких систем управления (анализ, синтез, математическая модель регулятора, дискретная модель алгоритма управления и т.д.)

Пособие предназначено для студентов (магистров) технических вузов, обучающихся по направлению «Системный анализ и управление»- 220100.68

Рекомендовано к печати Учёным советом Факультета КТУ, 08.06.2010, протокол №11

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.

© Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики © Григорьев В.В.,Быстров С.В., Першин И.М., 2010

2

2.2.4Упрощенная математическая модель распределенного регулятора прямого действия………………………………………………………...85

2.2.5Исследование характеристик распределенного звена, охваченного положительной обратной связью…………… …………….…….91

2.2.6Распределенная система передачи информации .………………95

2.2.7Построение пространственного фильтра… …………………….99

2.2.8Пространственный сканер… ..…… ……………………......……103

РАЗДЕЛ №3. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ С ВЕКТОРНЫМ ВХОДНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ.

3.1Синтез регуляторов для систем с распределенными параметрами ..104

3.1.1Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР) для процессов, описываемых линейной системой дифференциальных

уравнений……………………………….. ……………...………….104

3.1.2Статическая точность системы………………………… ………..108

3.1.3Частотный метод синтеза регуляторов для систем с распределенными параметрами…… …………………………………………..…......111

3.1.4Синтез интегрального закона управления……………………….124

3.2Синтез регуляторов для распределенных систем управления с векторным входным воздействием…… … ………………….……130

3.2.1Общие замечания к синтезу систем, не принадлежащих к классу пространственно – инвариантных………… ……………………..130

3.2.2Синтез распределенных систем управления с векторным входным воздействием… ….……………………………………………….136

3.2.2.1Анализ объекта управления… ……………………..………......136

3.2.2.2Синтез регулятора…… …………………………………………140

3.2.2.3Определение запасов устойчивости по модулю и по фазе разомкнутой системы ……………………………………………….….142

3.2.2.4Анализ работы замкнутой системы управления………… ….143

3.3Частотный метод синтеза многомерных систем…………… ……145 3.3.1 Дискретная форма записи условия пространственной инвариантности… ..............................................................................…..146 3.3.2 Синтез многомерных систем управления………………….. ..….147

3.3.2.1Синтез регулятора… …………..………………………..……....148

3.3.2.2Определение запасов устойчивости разомкнутой системы.....150

3.3.2.3Моделирование работы замкнутой системы управления……151 3.3.3 Общие замечания к синтезу регуляторов многомерных систем…………………………………………………………….……....153

РАЗДЕЛ №4. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. 4.1 Система управления температурным полем камеры

4

спекания световодов…………………………………………..…….155

4.1.1.Описание объекта управления…………………………. .….…..155

4.1.2Анализ объекта управления… ….……………………….……....156

4.1.3Синтез регулятора… .…………………………………..………...158

4.1.4Определение запасов устойчивости разомкнутой системы… ..161

4.1.5Анализ работы замкнутой системы управления…………… ….161 4.2 Процесс вытяжки световодов. Описание, анализ, математическая

модель объекта управления ……………………………………….164

4.2.1Описание процесса вытяжки световодов… ………………….….164

4.2.2Математическая модель объекта управления …………………...165 4.2.2.1 Описание нагревательной камеры… .………………………….165 4.2.2.2 Математическая модель нагревательной камеры………… ….166

4.2.3Конструктивные и теплофизические параметры камеры…… ..169

4.2.4Анализ объекта управления…… ..………………………………..169 4.3 Проектирование системы управления температурным полем нагревательной камеры для процесса вытяжки световодов… …..….174

4.3.1.Экспериментальные исследования… …………………….……..174

4.3.2Синтез распределенного высокоточного регулятора…… …….179

4.3.3.Дискретная модель алгоритма управления .…………………….183

4.3.4Результаты испытаний замкнутой системы управления ………188

4.3.5Синтез регулятора для управления температурным полем в процессе вытяжки световодов…………… ………………………….188

ЛИТЕРАТУРА…………… ………… ……………………….………….197

5

РАЗДЕЛ №1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

1.1 Основные понятия и описания линейных моделей распределенных объектов

Основными формами представления распределенных объектов (систем), как и в случае систем с сосредоточенными параметрами, являются представление в виде дифференциальных уравнений в частных производных, представление в виде передаточных функций, представление в виде временных характеристик, представление в виде частотных характеристик.

Отличительной особенностью распределенных систем является наличие пространственных составляющих в сигнале входа и выхода.

Как известно, в сосредоточенных системах импульсная переходная функция характеризует реакцию системы на единичный идеальный импульс δ(t), переходная характеристика характеризует реакцию системы на единичную ступенчатую функцию, а комплексная передаточная функция – реакцию системы на гармоническое входное воздействие. В распределенных системах к временным входным воздействиям, рассмотренным выше, необходимо добавить пространственную форму.

При формировании пространственной формы «стандартного» входного воздействия можно выделить два подхода:

1.Определение реакции системы на входной сигнал, представленный

ввиде комбинации дельта функций в пространственной и временной областях

ω(x1,t)=δ (x1 − ρ0 ) δ (t −τ0 ),

где x1 D1, ρ0 D2 ; x1 , ρ0 - заданные точки пространства D1, D2 ;

t,τ - временные независимые переменные.

Реакция объекта на входное воздействие ω(x,t) представляется в виде функции Грина (G(x,t, ρ,τ )) или импульсной переходной функцией.

Это направление исследования развивается А.Г. Бутковским и его школой /5,6/.

2. Определение реакции объекта на собственные вектор-функции оператора объекта. В этом случае распределенный объект (систему) структурно можно представить бесконечной совокупностью независимых условно сосредоточенных контуров. Передаточная функция каждого условно сосредоточенного контура может быть представлена в виде отношения аналитических целых функций.

6

В случае, если собственные вектор-функции представлены на основе ортогональных разложений в ряды Фурье по пространственным координатам, то может быть выделен класс пространственноинвариантных объектов и систем, для которого разработана методика синтеза распределенных регуляторов.

1.1.1 Описание распределенных объектов дифференциальными уравнениями

Рассмотрим объект с распределенными параметрами, описываемый системой линейных дифференциальных уравнений в частных производных:

n,n1,n2,n3 −заданные целые числа; Li − линейные операторы.

Граничные условия для системы уравнений (1.1) полагаются однородными и заданы в виде:

Lг,i [Ti (x, y, z,τ), Ti+1(x, y, z,τ)]= 0 , x, y, z Г1,i (i =1,n −1),

x, y Г3,μ (μ =1,m),

7

пространства V ;

n~,m −заданные числа;

zμ , (μ =1,m) − фиксированные значения координаты z; U μ (x, y,τ), (μ =1,m)− входные воздействия.

Функциями выхода объекта являются значения фазовых переменных Ti (x, y, zi ,τ)при фиксированных значениях z = zi (i =1,n).

Пример. Математическая модель тепловых полей многослойной пластины.

Математическая модель распространения тепла в многослойной пластине (см. рис.1.1.) может быть представлена в виде:

Рисунок 1.1. Многослойная пластина.

где Ti (x, y, z,τ)−температура в поле в i −м слое пластины;

zi (i = 0, n +1), n, xL , yL −заданные числа;

x, y, z −пространственные координаты; τ - время.

На границах соприкосновения слоев выполняются условия равенства температур и тепловых потоков:

8

На боковой поверхности многослойной пластины (см. рис. 1.1) имеют место условия:

Ti (x, y, z)= 0, (i =1,n), x, y, z, Sμ, БП , (μ =1,6),

координаты z соответственно.

В большинстве практических задач управляющее воздействие распределено по граничной области. Однако встречаются задачи, в которых управляющее воздействие распределяется в подпространстве V1 V , т.е. может входить в правую часть уравнения (1.1).

1.1.2 Описание распределенных объектов на основе импульсных переходных функций

Распределенным блоком будем называть устройство любой природы, в котором выделены вход и выход (см. рис. 1.2) /6/, где ρ D1, x D2 ,

D1, D2 - подобласти пространства D.

Ограничимся рассмотрением линейных распределенных блоков, у которых существуют линейные интегральные операторы, связывающие функцию выхода Q(x,t) с входным воздействием ω(ρ,t)

9