Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bystrov_Grigorye_Pershin_-_Sintez_raspredelennykh_regulyatorov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

3.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

∂2 H	i,η,γ	(z, jω)		2	2		ω
						+ j		Hi,η,γ (z, jω) = 0 ,	(2.51)
			− ψη		+ϕγ
	∂z 2
							ai

(i =1,3;η,γ =1, ∞).

Решение уравнения (2.51) будем искать в виде:

Hi,η,γ (z, jω) = B1,i,η,γ					exp(βi,η,γ			z) + B2,i,η,γ exp(−βi,η,γ z) , (2.52)
		ω	2		2	12
где βi,η,γ			2		2		,	B1,i,η,γ , B2,i,η,γ - коэффициенты,
где βi,η,γ	= j	ai	+ψη	+ϕγ			,	B1,i,η,γ , B2,i,η,γ - коэффициенты,
		ai

определяемые из граничных условий.

Подставляя (2.52) в (2.49) и далее в (2.44), (2.45) и преобразуя с учетом (2.48), получим систему уравнений

1 = B1,1,η,γ + B2,1,η,γ ,

B1,i,η,γ exp(βi,η,γ zi) +B2,i,η,γ exp(−βi,η,γ zi) =

=B1,i+1,η,γ exp(βi+1,η,γ zi) +B2,i+1,η,γ exp(−βi+1,η,γ zi),

(2.53)

(i=1,2);

λi [B1,i,η,γ βi,η,γ exp(βi+1,η,γ zi) −B2,i,η,γ βi,η,γ

exp(−βi,η,γ zi)]=λi+1 [B1,i+1,η,γ βi+1,η,γ exp(βi+1,η,γ zi) −

−B2,i+1,η,γ βi+1,η,γ exp(−βi+1,η,γ zi)],

(i=1,2);

B1,3,η,γ β3,η,γ exp(β3,η,γ z3) − B2,3,η,γ β3,η,γ exp(−β3,η,γ z3) = 0

Представляя систему уравнений, в матричном виде получим
A B = C .	(2.54)

На Рис. 2.22 приведена структура матрицы A и векторов B и C. Решая матричное уравнение (2.54), определим вектор коэффициентов

B = A − 1 C .

Комплексные передаточные коэффициенты будем определять с учетом изменения температурных полей на средних «линиях» материалов А и В биметаллической пластинки (см. Рис. 2.23).

Реакция температурного поля средних линий Б.П. на каждую составляющую ряда входного воздействия (2.48) может быть представлена в виде


T2,η,γ (x, y, z1,τ) = H 2,η,γ (z1, iω) exp(iωτ) cos(ψη x) cos(ϕγ						y)
	,
	(i =		η,γ =		);
		1,3;		1, ∞

T3,η,γ (x, y, z 2 ,τ) = H3,η,γ (z 2 , iω) exp(iωτ) cos(ψη x) cos(ϕγ						y)

(η,γ =1, ∞) ,

где z1, z 2 - координаты средних линий Б.П. для материалов A и B.

Рис. 2.23. Биметаллическая пластинка.

Рис. 2.24. Деление Б.П. на части.

Комплексные передаточные коэффициенты по каждой пространственной моде могут быть записаны в виде


W1,η,γ ( jω, z1) = H 2,η,γ (z1, iω);

W2,η,γ ( jω, z 2 ) = H3,η,γ (z 2 , iω);

(2.55)

(η,γ =1, ∞) .

В соответствии с п.1.5, блок 1 рассматриваемого регулятора (см. Рис. 2.20) обладает свойством пространственной инвариантности. Записывая соотношение (2.55) с использованием обобщенной координаты, получим


W1(G, jω, z1) = H 2 (G, z1, iω),

W2 (G, jω, z 2 ) = H3 (G, z 2 , iω), (2.56)

при этом функция βi,η,γ может быть записана в виде

βi (G) = j ω ai + G 12 .

Блок 2 (см. Рис. 2.20) описывает механическое перемещение свободного конца Б.П.. Рассмотрим перемещение свободного конца Б.П. при изменении температурного поля материалов A и B. (При этом в расчетах будем использовать температурные поля средних «линий»). Для

этого разделим Б.П. на N равных частей по y и m частей по x (см. Рис. 2.24).

Исследуем деформацию отдельных частей Б.П. и всей Б.П. в целом. При этом будем полагать, что в пределах выделенной части Б.П. температурное


поле средней «линии» остается постоянным и равным T2 (xξ , yμ , z1,τ),

T3(xξ , yμ , z2 ,τ), (ξ =	1,m	;	μ =	1, N	).

Для определения деформации первой (из N) части Б.П. (см. Рис. 2.24) могут быть записаны следующие соотношения


y1,1,ξ =	y [1 +δ1 T2 (xξ , y1, z2 ,τ)];

y1,2,ξ =	y [1 +δ2 T3 (xξ , y1, z3,τ)];

где δ1 и δ2 коэффициенты линейного расширения материалов А и В соответственно.

Рис. 2.25. Деформации частей Б.П.

Рис. 2.25. Деление Б.П. на сектора.

r1,ξ =

+δ1

T2 (xξ , y1, z2 ,τ) +δ2 T3(xξ , y1, z3,τ)) , (ξ =1,m).

Угол

поворота

α1,ξ

может

быть определен из следующего

соотношения

y1,1,ξ −

y1,2,ξ

= arctg

, (ξ =1,m).

1,ξ

r1,ξ

Исследуя поведение μ–го слоя Б.П., получим

yμ,1,ξ =

y (1 +δ1 T2 (xξ , yμ , z2 ,τ));

yμ,2,ξ =

y (1 +δ2 T3(xξ , yμ , z3,τ)); (ξ =

1,m

rμ,ξ =

+δ1 T2 (xξ

, yμ , z2 ,τ)

+ δ2 T3(xξ , yμ , z3,τ)) , (ξ =1,m).

yμ,1,ξ −

yμ,2,ξ

μ,ξ

= arctg

rμ,ξ

Перемещение свободного конца Б.П., вычисленное относительно средней линии материала A, будет складываться из суммы проекций средних линий всех частей (начиная со второй) на ось z.

S2,ξ = y2,1,ξ sinα1,ξ ;
S3,ξ =	y3,1,ξ sin(α1,ξ +α2,ξ );
(2.57)			μ
			μ
Sμ,ξ =	yμ,1,ξ		∑		;
Sμ,ξ =	yμ,1,ξ	sin	∑	αi−1,ξ	;
		i=2

Sξ = ∑ Sμ,ξ , (ξ =1,m).

μ=2

Используя соотношения (2.57), может быть разработан алгоритм для вычисления механического перемещения свободного конца Б.П., а так же для вычисления коэффициента усилия блока 2 (см. Рис. 2.20). Следует отметить, что аналогично могут быть определены деформации Б.П. в направлении Х. В практическом применении обычно Б.П. «разрезают» на сектора (см. Рис. 2.25), при этом каждый сектор будет автономным.

Вследствие того, что x << Ly , то в практических расчетах деформациями

внаправлении Х обычно пренебрегают.

2.2.4Упрощенная математическая модель распределенного регулятора прямого действия

Как известно теплофизические параметры (λ ,α) материалов биметаллической пластины (активного и пассивного слоев) близки. Следовательно, тепловые процессы, протекающие в биметаллической

пластине, близки к тепловым процессам пластины, полностью изготовленной из материала активного слоя.

Рис. 2.26. Пластина.

Рассмотрим вычисление комплексного передаточного коэффициента блока 2 (см. Рис. 2.20), когда входным воздействием будет тепловой поток Q(x,y,τ) (см. Рис. 2.26). Функцией выхода будет температурное поле на

* = Lz

плоскости (x, y, z 4 ) . Нижняя поверхность пластины и боковые грани

не влияют на процессы, протекающие внутри пластины.

Вывод комплексного передаточного коэффициента аналогичен приведенному в п. 3.6. При этом, изменение условий на боковых гранях пластины приводит к изменению вида разложения входного воздействия Q в ряд Фурье. Комплексный передаточный коэффициент, записанный с у четом обобщенной координаты, будет равным

exp

(G, S)

+ exp − β(G, S)

W (G, S) =

λ (exp(β(G, S) Lz ) − exp(−β(G, S) Lz )) β(G, S)

(2.58)

где

S=jω,

β(G, S) =

;

+ G

a – коэффициент температуропроводности материала A;

λ - коэффициент теплопроводности материала A;

G – обобщенная координата.

Полагая, что β(G, S)

>>1, то (2.58) может быть записано в виде

следующего соотношения

W (G, S) =

exp(−β

z) ,

(2.59)

λ β(G, S)

где

z = Lz

−

Подставляя в β S=jω, представим комплексное число β в различных

формах записи

= M exp( jΦ) = M (cosΦ + j sin Φ) ,

β = j

+ G

(2.60)

arctg

где

M =

, Φ =

Подставляя (2.60) в (2.59) и преобразуя, получим

		W (G, S = jω) = M1 exp( j Φ1),
где M	1	= (λ M exp(M cos Φ z)−1, Φ = −(M sin Φ z + Φ) .
	1	1

По полученным соотношениям могут быть построены амплитудные и фазовые характеристики блока, описывающего тепловые процессы в Б.П.

Рассматривая механические перемещения в Б.П., отметим, что, как правило, температурное поле жидкости, омывающей пластину, изменяется по оси x и остается постоянным по оси y. Следует так же отметить, что коэффициент чувствительности Б.П. (условная разность коэффициентов

теплового расширения активного и пассивного слоев биметалла) равен

(15 ÷ 20) 10−6 1 oС

Учитывая, что δ1 >>δ2 , соотношения, описывающие механические перемещения Б.П., могут быть преобразованы к виду

(x , y

, Lz

,τ)

+ L

;

(2.61)

μ,ξ

yμ,1,ξ = y (1 +δ1 T2 (xξ , yμ , Lz 4 ,τ)) ; yμ,2,ξ = y ;

αμ,ξ = arctg δ1 T2 (xξ , yμ , Lz 4 ,τ) rμ,yξ ; (ξ =1,m; μ =1, N) .

По полученным соотношениям (2.61), (2.57) могут быть построены алгоритмы для вычисления коэффициентов передачи блока механических перемещений Б.П.

Отметим, что для рассмотренных выше регуляторов входным воздействием является тепловой поток Q(x,y,τ), а функцией выхода служит перемещение Ls (x,τ) .

Аналогичные алгоритмы для расчета частотных характеристик могут быть получены для случаев, когда входным воздействием является температурное поле T(x,y,τ).

Вывод комплексного передаточного коэффициента для случая, когда входным воздействием служит T(x,y,τ), приведен в п. 1.3.

Комплексный передаточный коэффициент, записанный с учетом обобщенной координаты (G) , имеет вид

β(G, S)

− β(G, S)

exp

+ exp

W (G, S) =

(2.62)

exp(β(G, S) Lz )+ exp(− β(G, S) Lz )

S = j ω .

где β(G, S) =

+ G

Пример. Приведем результаты расчета частотных характеристик распределенного регулятора прямого действия, выполненного на базе Б.П.

Для Б.П. геометрические и теплофизические параметры приведены в таблице 3.1, 3.2, были рассчитаны частотные характеристики с использованием соотношений (2.59), (2.61). По результатам расчетов были построены графики, которые приведены на Рис. 2.27 – 3.29.

Таблица 3.1.

Геометрические параметры биметаллической пластинки

Lx [м]	Ly [м]	Lz [м]
0.4	var	var

Таблица 3.2.

Теплофизические параметры биметаллической пластинки

Дж

λi

δi

С М К

i=2

3,7 10−6

материал А

14,6

18 10−6

(активный слой)

i=3

−6

материал В

16,7

4,14 10

1 10−6

(пассивный слой)

(Теплофизические параметры пассивного слоя приведены для сравнения /22/).

На Рис.	2.27 приведены амплитудные и фазовые характеристики,
построенные		для	различных	значений
Lz (Lz = 0,6 мм,		Lz =1 мм, Lz	= 2 мм) , при этом G=7,85.

Рис. 2.27. Графики частотных характеристик.

Влияние обобщенной координаты G на амплитудные и фазовые частотные характеристики показано на Рис. 2.28. При этом рассмотрены частотные характеристики для Lz = 0,6 мм, Lz =1 мм, Lz = 4 мм.

Графики коэффициентов усиления блока 2 (см. Рис. 2.20) приведены на Рис. 2.29. При этом рабочая температура была принята равной 250 °С. Графики построены для Lz = 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,2; 3; 4 мм.

Аналогичным образом был разработан алгоритм вычисления частотных характеристик для случая, когда комплексный передаточный коэффициент имеет вид (2.62). По результатам расчетов были построены графики, приведенные на Рис. 2.30, 3.31.

Рис. 2.28. Графики характеристик по G.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.201666.67 Кб9Biznes_plan.Docx
#
25.04.2019326.2 Кб2blablabla.docx
#
07.12.2018324.98 Кб36blablabla.docx
#
08.09.2019132.61 Кб1Blanki.doc
#
21.03.20161.19 Mб30book_holography_2009.pdf
#
21.03.20163.83 Mб14Bystrov_Grigorye_Pershin_-_Sintez_raspredelennykh_regulyatorov.pdf
#
14.11.20191.28 Mб28BZhD_Laboratornaya_rabota_4.doc
#
21.04.2019536.06 Кб21C++ лекции.doc
#
21.03.2016358.65 Кб22C. Вводная лекция.pdf
#
21.03.2016534.94 Кб19C. Тема 1. Раздел 1.pdf
#
21.03.2016546.75 Кб18C. Тема 1. Раздел 10.pdf