Bystrov_Grigorye_Pershin_-_Sintez_raspredelennykh_regulyatorov

Рис. 3.2. Синтез регулятора.

2.Строим график статической кривой (Рис. 3.3, кривая 1).

3.На плоскость Γ3 наносим график желаемого статического коэффициента усиления (Рис. 3.3, кривая 2)

где границы изменения обобщенной координаты при изменении (η,γ =1,3) определяются из выражений:

4.Строим график желаемого коэффициента усиления регулятора (Рис. 3.3, кривая 3).

5.Для реализации желаемого коэффициента усиления регулятора используем блок, приведенный на рис. 3.13.

Рассмотрим методику определения коэффициентов Ei (i =1, m) .

уравнений (3.40) преобразуем к виду:

−31,7 E1 + 31,72 E2 = 0 ,

−158,5 E1 +158,52 E2 = 56,23 − 4,216.

Решая систему уравнений, получим E1 = 0,08244 ; E2 = 0,0025899 .

120

Коэффициент усиления синтезированного блока определяется из следующего соотношения:

m

K(G) = ∑Gi Ei (−1)i + E0 .

i=1

6.График коэффициента усиления синтезированного блока приведен на Рис. 3.3, кривая 4. Как следует из методики синтеза, увеличение числа m, с одной стороны, улучшает аппроксимацию графика желаемой статической кривой графиком статической кривой синтезированного блока, а с другой, усложняет структуру регулятора.

7.График статического коэффициента усиления разомкнутой системы приведен на Рис. 3.3, кривая 5.

8.Используя график статического коэффициента усиления разомкнутой системы, построим графики амплитудных частотных

характеристик разомкнутой системы (Рис. 3.2, кривые 1′, 2′, 3′, 4′, 5′) и графики линий среза модуля и фазы.

В соответствии с графической интерпретацией критерия Найквиста, замкнутая система будет неустойчива.

121

Рис. 3.3. Статические кривые.

В качестве корректирующего устройства использовано звено, передаточная функция которого записана в виде

W = 1 .

τ1 s +1

Согласно изложенной процедуре синтеза, было вычислено значение постоянной времени корректирующего устройства (графические построения, для выбора значения постоянной времени, приведены на Рис.

3.2и Рис. 3.4).

Сиспользованием частотных характеристик объекта, регулятора и корректирующего устройства на Рис. 3.2 построены линии среза модуля и фазы разомкнутой системы (кривые СМ и СФ).

Как следует из этих графиков, замкнутая система будет устойчива, а запасы по модулю и по фазе – не менее заданных. Передаточная функция синтезированного регулятора может быть записана в виде:

122

Рис. 3.4. Графики частот среза.

Рис. 3.5. Графики переходного процесса

По результатам моделирования системы управления на ЦВМ построены графики, представленные на Рис. 3.5. При этом входное

*

воздействие было задано в виде функции Т(x, y) , график которой приведен на Рис. 3.5,а. Анализ результатов численного решения задачи показывает,

123

что замкнутая система устойчива, а статическая ошибка регулирования (на

не превосходит заданную.

3.1.4 Синтез интегрального закона управления

Постановка задачи Для системы управления распределенным объектом (задана его

математическая модель, либо имеется возможность проводить экспериментальные исследования с реальным объектом) синтезировать регулятор, реализующий интегральный закон управления. При этом на запасы устойчивости разомкнутой системы наложены следующие

Процедура синтеза

Процедура синтеза регулятора состоит из следующих этапов.

1. Для выбранных значений η [1,m1], γ [1,m2 ] (где m1 и m2 -

заданные числа) строим частотные характеристики объекта. Положим, что число характеристик равно m~ . Для каждой пространственной частотной

= ~

характеристики определим значение обобщенной координаты i (i 1,m) .

G

В рассматриваемом случае для сохранения ясности построений выберем m~ = 2 , G1 =10 , G2 =100 (lgG1 =1, lgG2 = 2) .

Частотные характеристики приведены на Рис. 3.6.а, г.

2. Используя графики фазовых частотных характеристик объекта (см. Рис. 3.6.г) и регулятора ϕ(G) = −π 2 , строим график линии среза фазы разомкнутой системы (см. Рис. 3.6.в, кривая Сф).

Строим график критической линии среза модуля. Для этого строим график ϕ(G) ≥ ϕ3 (см. Рис. 3.6.д, кривая ϕж ). Используя частотные

характеристики разомкнутой системы, по точкам строим график критической линии среза модуля (см. Рис. 3.6.в, кривая Ж). Если точки линии среза модуля разомкнутой системы будут принадлежать области, ограниченной кривыми Сф и Ж (см. Рис. 3.6.в), то условие ϕ(G) ≥ ϕ3

для разомкнутой системы не будет выполнено. На графиках (Рис. 3.6) показано построение характерных точек пунктирными линиями.

4. Используя график критической линии среза модуля, для характерных точек Gi (на графике они помечены *) определяем

критические точки среза пространственно-интегрирующего звена.

124

пересечения с графиком амплитудной частотной характеристики (Рис. 3.6.а, в, кривая 1). Полученную точку зеркально отображаем относительно оси lgω (см. Рис. 3.6.а). Через отображенную точку проводим линию под наклоном – 20 дБ/дек и определяем точку пересечения линии с осью lgω (см. Рис. 3.6.а, прямая 1) Аналогично определяем остальные точки пересечения.

5.По полученным точкам среза строим график критической кривой среза модуля идеального пространственно-интегрирующего звена (см. Рис. 3.6.б, кривая ωˆ ).

6.Определяем параметры регулятора n4 , E4 . Для простоты

изложения выберем n4 =1 и перенесем график ω p (при n4 =1, см. рис. 3.6.) на Рис. 3.6.б. Смещая график ω p , как показано на Рис. 3.6.б, до положения, когда прямая ω′р будет касаться кривой ωˆ , определим значение неизвестного параметра E4 (если наложены жесткие условия на близость графиков частоты среза ω′р и ωˆ , то их выполнения добиваются или путем выбора соответствующих значений параметра n4 или

применением блочной структуры пространственно-интегрирующего звена).

7. Строим точки частоты среза модуля (ωср) синтезированного регулятора для заданных значений Gi . Это осуществляется путем перенесения соответствующих точек прямой ω′р (при G = Gi ) на ось lgω

(см. Рис. 3.6.а). По полученным точкам частоты среза модуля строим графики амплитудных характеристик регулятора (см. Рис. 3.6.а, кривые 1, 2).

8. Для заданных значений Gi строим амплитудные частотные

характеристики разомкнутой системы (см. Рис. 3.6.а, кривые 1′, 2′).

9. Строим графики среза модуля (Рис. 3.6.в, кривая См) и графики

запасов по модулю и по фазе разомкнутой системы (Рис. 3.6.е, д). Если требование запаса по модулю не выполнено, то изменение параметра E4

добиваются выполнения этого требования.

Пример.

Рассмотрим процедуру синтеза регулятора для системы управления температурным полем пластины, математическая модель которой имеет вид:

126

0 < x < xL , 0 < y < yL 0 < z < zL .

127

Рис. 3.7. Синтез регулятора.

Граничные и начальные условия задаются следующими соотношениями:

T (x,y L , z,τ) = T (x,0, z,τ) = T (xL , y, z,τ) = T (0, y, z,τ) = 0

T (x, y, zL ,τ) =U (x, y,τ) ,

T (x, y, z,0) = 0 ,

где T(x,y,z,τ) – температурное поле пластины; xL , yL , zL - заданные числа (xL = 0,18, yL = 0,18, zL = 0,09) ; а – заданный коэффициент (а= 0,0002);

U(x,y,τ) - управляющее воздействие.

Функцией выхода объекта управления служит температурное поле

T(x,y,z=0,02,τ)

Ставится следующая задача для системы управления объектом, математическая модель которого описывается уравнениями (3.27), (3.28), - синтезировать регулятор, реализующий интегральный закон управления. При этом на запасы устойчивости разомкнутой системы по модулю и по

построены частотные характеристики (см. Рис. 3.7.а, г, кривые 1, 2, 3, 4, 5).

128

Следуя изложенной процедуре, синтезируем регулятор (см. Рис. 3.7) и определяем значения параметров n4 , E4 (n4 = 1; −lg E4 = 1.8, E4 = 10−1.8 ) .

Как видно из графиков (Рис. 3.7.в, е, д), замкнутая система будет устойчива, а запасы устойчивости по модулю и по фазе у разомкнутой системы не менее заданных.

Рис. 3.8. Графики переходного процесса.

Передаточная функция синтезированного регулятора имеет вид:

W4 ( x, y, s) = −10 −1.8 2 1s .

Моделирование работы замкнутой системы управления температурным полем пластины проведено на ЭВМ. Входное воздействие на систему управления было задано в виде

α ( x, y ) = ∑3 100 (η , γ ) −1 sin( ψ η x ) sin( φ~γ y ) .

η ,γ =1

По результатам численного моделирования замкнутой системы управления построен график изменения температуры на линии x=0,08; y, z

=0,02 (см. Рис. 3.8).

129