7.6. Построение парного нелинейного уравнения связи. Прием линеаризации переменных величин
В реальности гораздо чаще встречаются связи нелинейного характера, которые могут быть отображены функциями разного вида:
-
степенной 
;
-
логарифмической 
или
;
-
показательной 
;
-
гиперболической 
и другими.
Для
построения нелинейного парного уравнения
регрессии проводят его линеаризацию,
т.е. нелинейное уравнение приводят к
виду, схожему с линейным. Например, для
гиперболической функции необходимо
заменить 1/x
на z.
Тогда функция будет иметь вид: 
,
т.е. вид, похожий на линейную форму
уравнения. Для степенной функции
линеаризация проводится следующим
образом. Сначала выражение степенной
функции логарифмируется, получаем: 
.
Затем вводим обозначения, например, 
В
результате получаем уравнение регрессии
в виде: 
,
похожем на линейную форму. К полученным
выражениям функций применяем формулы
для расчёта параметров a
и b
, соответствующие
линейной форме, в которых вместо x
будет стоять
z (для
гиперболического уравнения), либо Y,
A,
X (для
степенного уравнения):
Для
нелинейных форм уравнений регрессии
параметр b
не является
коэффициентом регрессии (кроме параболы
второго порядка 
).
7.7. Показатели тесноты парной нелинейной зависимости. Их расчет и интерпретация
Показателями
тесноты парной нелинейной зависимости
результата и фактора являются теоретическое
корреляционное отношение 
или
индекс корреляции 
,
а также их квадраты, соответствующие
коэффициенту детерминации. Теоретическое
корреляционное отношение определяется
по формуле:
где
-
факторная дисперсия, т.е. объяснённая
связью с фактором дисперсия результативного
признака;
-
общая дисперсия результата.
Индекс корреляции определяется по формуле:
где
-
остаточная дисперсия, т.е. необъяснённая
связью с фактором дисперсия результативного
признака;
-
общая дисперсия результата.
Квадрат
теоретического корреляционного отношения
или
индекса корреляции 
является
коэффициентом детерминации.
Следует отметить, что линейный коэффициент корреляции является частным случаем теоретического корреляционного отношения для линейной формы связи признаков.
Связь признаков считается тесной, если теоретическое корреляционное отношение или индекс корреляции по значению будут не меньше 0,7 (см. 7.4.). Объяснение коэффициента детерминации также дано в разделе 7.4. данной темы.
7.8. Прогнозирование показателей внешней торговли по уравнению регрессии. Оценка прогноза
Чтобы получить прогнозное значение показателя внешней торговли, необходимо в построенное уравнение связи подставить ожидаемое, предполагаемое, ранее спрогнозированное или нормативное значение факторного признака. В результате будет получен точечный прогноз, который будет содержать ошибки. Поэтому прогноз показателя внешней торговли следует давать в виде доверительного интервала с заданной вероятностью. Для получения доверительного интервала прогноза рассчитываются ошибки прогноза. Средняя
ошибка прогноза определяется по формуле:
где
-
прогнозное значение факторного признака.
Затем рассчитывается предельная ошибка прогноза по формуле:
Значение t-критерия Стьюдента определяется по таблице с учётом числа степеней свободы системы (n-m) и с заданной вероятностью. При этом n – число единиц совокупности, а m – число параметров уравнения регрессии. При оценке прогноза, как правило, задаются вероятностью 95% или 90%. Зная предельную ошибку можно определить доверительный интервал прогноза:
Доверительный интервал показывает, что фактическая реализация прогноза будет заключена в данном интервале с заданной вероятностью.