Рис. 84. Пересечение прямого конуса плоскостью общего положения

Тема 8. Пересечение поверхности прямой линией

Пересечение прямой с поверхностью называется проницанием. Построение точек пересечения прямой с поверхностью геометрических тел в общем случае сводится к следующему алгоритму:

1)заключить прямую во вспомогательную плоскость-посредник;

2)построить линию пересечения плоскости-посредника с поверхностью заданного геометрического тела;

3)определить точки пересечения линии сечения с данной прямой,

которые и будут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной поверхностью.

Рассмотрим некоторые примеры.

З а д а ч а 22

Дано: прямая призма и прямая общего положения l (рис. 85, а).

96

Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой с заданной поверхностью; 2) определить видимость прямой l.

Порядок выполнения:

Призматическая поверхность является горизонтально-проецирующей, поэтому проекции точек пересечения прямой с поверхностью могут быть построены без применения вспомогательной плоскости, только с помощью линий проекционной связи. Горизонтальные проекции K1 и L1 точек пересечения прямой l с призмой определяют в пересечении горизонтальных проекций призмы и прямой. Фронтальные проекции точек K2 и L2 определяют с помощью линий проекционной связи. Видимость прямой l определяютпоположениюточекK иL.

З а д а ч а 23

Дано: прямойцилиндрипрямаяобщегоположенияl (рис. 85, б). Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной

поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

Цилиндрическая поверхность в данном примере является гори- зонтально-проецирующей, поэтому проекции точек пересечения прямой с поверхностью могут быть построены без применения вспомогательной плоскости-посредника, только с помощью линий проекционной связи. Горизонтальную проекцию K1 точки пересечения прямой l с цилиндром определяют в пересечении горизонтальных проекций цилиндра и прямой. Фронтальную проекцию точки K2 определяют с помощью линий проекционной связи. В точке L прямая пересекает верхнее основание цилиндра. Здесь определяют фронтальную проекцию L2 точки пересечения прямой l с цилиндром, горизонтальную проекцию L1 находят в проекционной связи. Видимость прямой l определяют по положению точек K и L.

З а д а ч а 24

Дано: прямая пирамида и прямая общего положения l (рис. 85, в). Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной

поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

1. Заключают прямую l во фронтально-проецирующую плоскостьпосредник α. Фронтальный след αΠ2 плоскости α обладает собиратель-

ным свойством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2

с ребрами пирамиды образует фронтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью —122232.

97

З а д а ч а 25

Дано: прямой круговой конус с вершиной в точке S и прямая общего положения l (рис. 85, г).

Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

Задача может быть решена двумя способами. Рассмотрим первый способ.

1.Заключают прямую l в плоскость-посредник α, заданную двумя пересекающимися прямыми, одна из которых прямая l, а другая прямая m, проходящаячерезвершинуконусаS ипересекающаяпрямуюl вточкеK.

2.Преобразуют плоскость-посредник α, заданную двумя пересекающимися прямыми, в плоскость, заданную следами. Определяя горизонтальные следы прямых l и m, выстраивают горизонтальный

след αΠ1 плоскости α.

3.Выстраивают горизонтальную проекцию линии пересечения плоскости α (l ∩ m) с конусом (треугольник с вершиной S).

4.Определяют горизонтальные проекции 11 и 21 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения и прямой l, которые и будут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной поверхно-

стью. Фронтальные проекции 12 и 22 точек пересечения прямой с поверхностью конуса определяют с помощью линий проекционной связи.

5.Видимость прямой l определяют по положению точек 1 и 2. Рассмотрим второй способ (рис. 86).

1.Заключают фронтальную проекцию прямой l во фронтально

проецирующую плоскость-посредник α. Фронтальный след αΠ2 фрон-

тально проецирующей плоскости α обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с поверх-

ностью конуса образует фронтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью —122232425262728292102.

2.Выстраивают горизонтальную проекцию линии пересечения плоскости α с конусом (112141618110191715131). Горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой.

3.Определяют горизонтальные проекции А1 и В1 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения и прямой l, которые ибудут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной поверхностью.

Фронтальные проекции A2 и B2 точек пересечения прямой споверхностью конусаопределяютспомощьюлинийпроекционнойсвязи.

4.Видимость прямой l определяют по положению точек A и B.

99

Рис. 86. Пересечение конуса прямой общего положения

З а д а ч а 26

Дано: прямая трехгранная пирамида ABCS c вершиной в точке S и фронтально-проецирующая прямая l (рис. 87, а).

Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

1. Заключают прямую l в горизонтальную плоскость уровня α. Фронтальный след αΠ2 горизонтальной плоскости уровня α обладает

собирательным свойством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с ребрами пирамиды образует фронтальную проекцию се-

чения геометрического тела плоскостью — 122232.

2. Выстраивают горизонтальную проекцию линии пересечения плоскости-посредника α с пирамидой — 112131. Горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой.

100

3. Определяют горизонтальные проекции K1 и L1 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения (112131) и прямой l, которые и будут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной поверхностью. Фронтальные проекции K2 и L2 точек пересечения прямой с поверхностью пирамиды определяют с помощью линий проекционной связи. Так как прямая l является фронтально-проецирующей

прямой, тоl2 ≡ K2 ≡ L2.

4. Видимость прямой l определяют по положению точек K и L.

а б

Рис. 87. Пересечение геометрических тел прямой частного положения

З а д а ч а 27

Дано: прямой круговой конус с вершиной в точке S и горизон- тально-проецирующая прямая l (рис. 87 , б).

Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

Задача может быть решена двумя способами. Рассмотрим первый способ.

101

1. Заключают прямую l в горизонтально-проецирующую плос- кость-посредник β, проходящую через вершину конуса S. Горизонтальный след βΠ1 горизонтально проецирующей плоскости β обладает

собирательным свойством. Следовательно, пересечение горизонтального следа βΠ1 с поверхностью конуса образует горизонтальную про-

екцию сечения геометрического тела плоскостью — 11S121.

2.Выстраивают фронтальную проекцию линии пересечения плос- кости-посредника β с конусом — 12S222.

3.Определяют фронтальную проекцию А2 точки пересечения фронтальных проекций линии сечения и прямой l, которая и будет являться искомой точкой пересечения прямой с заданной поверхностью.

Горизонтальную проекцию А1 точки пересечения прямой с поверхностью конуса определяют с помощью линий проекционной связи. Так

как прямая l является горизонтально-проецирующей прямой, то l1 ≡ A1.

4.Видимость прямой определяют по положению точки А. Рассмотрим второй способ (см. рис. 87, б).

1.Через горизонтальную проекцию прямой l1 проводят параллель

ввиде окружности.

2.Определяют фронтальную проекцию полученной параллели —

плоскость αΠ2 .

3.Определяют фронтальную проекцию А2 точки пересечения фронтальных проекций окружности и прямой l, которая и будет являться искомой точкой пересечения прямой с заданной поверхностью.

Горизонтальную проекцию А1 точки пересечения прямой с поверхностью конуса определяют с помощью линий проекционной связи.

4.Видимость прямой определяют по положению точки А.

З а д а ч а 28

Дано: сфера и прямая общего положения l.

Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

Задача может быть решена двумя способами. Первый способ (рис. 88):

1.Применяя способ замены плоскостей проекций, прямую l преобразуют из общего положения в частное. Для этого вначале ограничи-

вают прямую l в точках A и B. Новую плоскость П4 выстраивают параллельно горизонтальной проекции прямой A1B1. В плоскости П4 выстраивают проекцию сферы и проекцию прямой l 4.

2.Заключают прямую в горизонтально-проецирующую плоскость-

посредник α. Горизонтальный след αΠ1 горизонтально-проецирующей

плоскости α обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение горизонтального следа αΠ1 с поверхностью сферы образует

горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью.

102

Рис. 88. Пересечение сферы прямой общего положения способом замены плоскостей проекций

3.Выстраивают в плоскости П4 проекции прямой l4 (A4B4) и линии пересечения плоскости-посредника α со сферой. Так как секущая плос-

кость параллельна плоскости проекций П4, то на эту плоскость сечение проецируется в виде окружности (в натуральную величину).

4.Определяют проекции 14 и 24 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения (окружности) и прямой l, которые и будут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной поверхно-

стью. Горизонтальные 11 и 21 и фронтальные 12 и 22 проекции точек пересечения прямой l с поверхностью сферы определяют с помощью линий проекционной связи.

5.Видимость прямой l определяют по положению точек 1 и 2.

103

Второй способ (рис. 89):

1. Заключают прямую l во фронтально проецирующую плоскостьпосредник α. Фронтальный след αΠ2 фронтально проецирующей плос-

кости α обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с поверхностью конуса образует

фронтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью —

1222324252627282 92102.

Рис. 89. Пересечение сферы прямой общего положения

2.Выстраивают горизонтальную проекцию линии пересечения

плоскости α с конусом — 112141618110191715131. Горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой.

3.Определяют горизонтальные проекции А1 и В1 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения и прямой l, которые

ибудут являться искомыми точками пересечения прямой с заданной

поверхностью. Фронтальные проекции А2 и В2 точек пересечения прямой с поверхностью конуса определяют с помощью линий проекционной связи.

4.Видимость прямой определяют по положению точек А и В.

104

З а д а ч а 29

Дано: сфера и фронтально-проецирующая прямая l (рис. 90, а). Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной

поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

1. Заключают прямую l в горизонтальную плоскость уровня α. Фронтальный след αΠ2 плоскости α обладает собирательным свой-

ством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с по-

верхностью сферы образует фронтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью.

2.Выстраивают горизонтальную проекцию линии пересечения плоскости-посредника α со сферой. Так как секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций, то на эту плоскость сечение проецируется в виде окружности (в натуральную величину).

3.Определяют горизонтальные проекции 11 и 21 точек пересечения горизонтальных проекций линии сечения (окружности) и прямой l, которые и будут являться искомыми точками пересечения прямой с за-

данной поверхностью. Фронтальные проекции 12 и 22 точек пересечения прямой с поверхностью сферы определяют с помощью линий проекционной связи.

4.Видимость прямой l определяют по положению точек 1 и 2.

З а д а ч а 30

Дано: сфера и фронтальная прямая уровня l (рис. 90, б). Выполнить: 1) определить точки пересечения прямой l с заданной

поверхностью; 2) определить видимость прямой.

Порядок выполнения:

1. Заключают прямую l во фронтальную плоскость уровня α. Горизонтальный след αΠ1 плоскости α обладает собирательным свойст-

вом. Следовательно, пересечение горизонтального следа αΠ1 с поверх-

ностью сферы образует горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью.

2.Выстраивают фронтальную проекцию линии пересечения плоскости α со сферой. Так как секущая плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций, то на эту плоскость сечение проецируется

ввиде окружности (в натуральную величину).

3.Определяют фронтальные проекции 12 и 22 точек пересечения фронтальных проекций линии сечения (окружности) и прямой l, которые и будут являться искомыми точками пересечения прямой с задан-

ной поверхностью. Горизонтальные проекции 11 и 21 точек пересечения прямой с поверхностью сферы определяют с помощью линий проекционной связи.

4.Видимость прямой l определяют по положению точек 1 и 2.

105