Рис. 80. Пересечение прямого конуса плоскостью частного положения
7.3. Сечения геометрических тел плоскостями общего положения. Определение натуральной величины сечения
Сечение поверхностей гранных геометрических тел плоско-
стями общего положения. Построение линии пересечения многогранника плоскостью общего положения сводится к двум этапам. На первом этапе плоскость из общего положения преобразуют в частное (проецирующее) положение. На втором — определяют точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью.
Рассмотрим некоторые примеры.
З а д а ч а 18
Дано: прямая трехгранная пирамида ABC с вершиной в точке S и плоскость общего положения α, заданная DEF (рис. 81).
Выполнить: 1) построить линию пересечения пирамиды плоскостью; 2) определитьнатуральную величину сеченияпирамидыплоскостью.
Порядок выполнения:
1. Способом замены плоскостей проекций преобразуют плоскость α ( DEF) из общего положения в частное — проецирующее, где αΠ4 ( D4E4F4) — проецирующий след плоскости. В плоскости П4 вы-
страивают проекцию пирамиды (A4B4C4S4).
91
2. След αΠ4 ( D4E4F4) проецирующей плоскости обладает собира-
тельным свойством. Следовательно, пересечение проецирующего следа αΠ4 ( D4E4F4) с ребрами пирамиды образует проекцию сечения
геометрического тела плоскостью — 24344 4.
3.Горизонтальную (213141) и фронтальную (223242) проекции сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой.
4.Натуральную величину сечения поверхности плоскостью можно определить любым известным способом (на примере не показано).
Рис. 81. Пересечение прямой пирамиды плоскостью общего положения α ( DEF)
З а д а ч а 19
Дано: прямая четырехгранная призма ABCD и плоскость общего положения α, заданная следами (рис. 82).
Выполнить: 1) построить линию пересечения призмы плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения призмы плоскостью.
Порядок выполнения:
1. Способом замены плоскостей проекций преобразуют плоскость α из общего положения в частное — проецирующее, где αΠ4 — проеци-
рующий след плоскости. В плоскости П4 выстраивают проекцию приз-
мы (A4B4C4D4).
2. След αΠ4 проецирующей плоскости α обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение проецирующего следа αΠ4
с ребрами призмы образует проекцию сечения геометрического тела плоскостью — 1424344 4.
92
3.Призматическая поверхность является горизонтально проецирующей. Поэтому горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью (11214131) и фронтальную (12224232) определяют из этого условия и условия принадлежности точки прямой.
4.Натуральную величину сечения поверхности плоскостью в данной задаче определяют способом вращения. Однако допустимо применение и любого другого способа.
Рис. 82. Пересечение прямой призмы плоскостью общего положения α, заданной следами
Сечение поверхностей геометрических тел вращения плоско-
стями общего положения. Построение линии пересечения тел вращения плоскостью общего положения также сводится к двум этапам. На первом этапе плоскость из общего положения преобразуют в частное (проецирующее), а затем определяют точки пересечения образующих кривой поверхности с секущей плоскостью.
93
Рассмотрим некоторые примеры. З а д а ч а 20
Дано: прямой круговой цилиндр и плоскость общего положения α, заданная следами (рис. 83).
Выполнить: 1) построить линию пересечения цилиндра плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения цилиндра плоскостью.
Рис. 83. Пересечение прямого цилиндра плоскостью общего положения
94
Порядок выполнения:
1. Способом замены плоскостей проекций преобразуют плоскость α из общего положения в частное — проецирующее, где αΠ4 — проеци-
рующий след плоскости. В плоскости П4 выстраивают проекцию цилиндра.
2. След αΠ4 проецирующей плоскости α обладает собирательным
свойством (любой геометрический элемент, принадлежащий фрон- тально-проецирующей плоскости, будет проецироваться в ее фронтальный след). Следовательно, пересечение следа αΠ4 с поверхностью
цилиндра образует проекцию сечения геометрического тела плоско-
стью — 1424344 454.
3.Цилиндрическая поверхность является горизонтально проецирующей. Поэтому горизонтальную проекцию сечения геометрического
тела плоскостью (1121314151) и фронтальную (1222324252) определяют из этого условия и условия принадлежности точки прямой.
4.Натуральную величину сечения поверхности плоскостью в данной задаче определяют способом замены плоскостей проекций.
З а д а ч а 21 Дано: прямой круговой конус и плоскость общего положения α,
заданная следами (рис. 84).
Выполнить: 1) построить линию пересечения конуса плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения конуса плоскостью.
Порядок выполнения:
1. Способом замены плоскостей проекций преобразуют плоскость α из общего положения в частное — проецирующее, где αΠ4 — проеци-
рующий след плоскости. В плоскости П4 выстраивают проекциюконуса. 2. След αΠ4 обладает собирательным свойством (любой геомет-
рический элемент, принадлежащий фронтально-проецирующей плоскости, в том числе и линия пересечения конуса плоскостью, будет проецироваться в ее фронтальный след). Следовательно, пересечение проецирующего следа αΠ4 с поверхностью конуса образует проекцию
сечения геометрического тела плоскостью — 1424344 454.
3.Горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плос-
костью (1121415131) и фронтальную (1222425232) определяют из условия принадлежности точки прямой.
4.Натуральную величину сечения поверхности плоскостью в данной задаче определяют способом вращения, однако допустимо применение и любого другого способа.
95