Тема 2. Проекции точки

2.1. Проекции точки на три плоскости проекций. Координатный способзаданияобъекта на чертеже. 2.2. Методконкурирующихточек

2.1. Проекции точки на три плоскости проекций. Координатный способ задания объекта на чертеже

Все пространственные геометрические фигуры в начертательной геометрии ориентированы относительно декартовой прямоугольной системы координат — системы трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей (рис. 5):

П1 — горизонтальная плоскость проекций; П2 — фронтальная плоскость проекций; П3 — профильная плоскость проекций.

Линии пересечения этих плоскостей проекций образуют координатные оси х, y, z. Точка пересечения координатных осей 0 называется началом координат.

Рис. 5. Проекции точки на три плоскости проекций

На рис. 5, а представлена часть пространства — четыре пространственных угла или четверти I, II, III, IV. Рассмотрим проецирование точки пространства А на три плоскости проекций. Точка А расположена в I четверти. Для того чтобы построить проекции точки А, необходимо через данную точку пространства провести проецирующие лучи перпендикулярно каждой плоскости проекций. При пересечении проецирующего луча с горизонтальной плоскостью проекций П1 получают горизонтальную проекцию точки А1: А1 = |AА1| ∩ П1. При пересечении проецирующего луча с фронтальной плоскостью проекций П2 получают фронтальную проекцию точки А2: А2 = |AА2| ∩ П2. При пересечении проецирующего луча с профильной плоскостью проекций П3 получают профильную проекцию точки А3: А3 = |АА3| ∩ П3. При этом Аx — проекция точки А на ось х; Аy — проекция точки А на ось y; Аz — проекция точки А на ось z.

23

Положение любой точки в пространстве определяется расстояниями от точки пространства до плоскостей проекций. Расстояние от точки пространства до плоскости проекций называется координатой. Следовательно, положение точки в пространстве определяется тремя координатами: А (х, y, z).

Координату х называют абсциссой, она определяет расстояние от точки пространства А до плоскости П3: |АА3|= |Аx0| = х.

Координату y называют ординатой, она определяет расстояние от точки пространства А до плоскости П2: | АА2| = |Аy0| = y.

Координату z называют аппликатой, она определяет расстояние от точкипространстваАдо плоскостиП1: |АА1| = |Аz0| = z.

Каждую проекцию точки пространства А характеризуют две коор-

динаты: А1 (х, y); А2 (х, z); А3 (y, z).

Чтобы получить плоскую (двухмерную) модель пространственных координатных плоскостей проекций, горизонтальную плоскость проекций П1 и профильную плоскость проекций П3 совмещают с фронтальной П2 как показано на рис. 5, а. Плоская модель любой пространственной геометрической фигуры называется эпюром Монжа. В результате построений на плоском чертеже (эпюре) получают три проекции точки А: горизонтальную проекцию А1, фронтальную проекцию А2 и профильную проекцию А3 (рис. 5, б).

Две проекции точки соответствуют только одному положению точки в пространстве. По двум заданным проекциям точки всегда можно определить третью ее проекцию, так как все проекции точки связаны между собой проекционными связями, перпендикулярными плоскостям проекций (на эпюре — координатным осям).

При решении графических задач координаты точек задают числами в каком-либо масштабе, например, А (20, 10, 15) — см. рис. 5, б. Координаты точки могут равняться нулю. Если нулю равна одна координата, то точка принадлежит одной из плоскостей проекций. Например, А (20, 0, 15), Аy =0 А П2 (рис. 6, а). Если две координаты равны нулю, то точка принадлежит одной из координатных осей. Напри-

мер, В (0, 0, 15), Вx = Вy = 0 В 0z (рис. 6, б).

Рис. 6. Проекции точек

24