Теория Графов 4
.pdf
Деревья
Доказательство (3))(4)
u |
x y |
P2 |
|
P1 z |
v |
|
Пусть z следующая после x общая вершина для цепей P1 è P2 (такая вершина есть, в крайнем случае z = v)
Между вершинами x è z по крайней мере на одной из цепей есть вершина y 6= x; z (в противном случае есть ребро
xz 2 P1 \P2, что противоречит выбору x)
Легко увидеть, что участки цепей P1 è P2 между x è z образуют цикл
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (3))(4)
u |
x y |
P2 |
|
P1 z |
v |
|
Пусть z следующая после x общая вершина для цепей P1 è P2 (такая вершина есть, в крайнем случае z = v)
Между вершинами x è z по крайней мере на одной из цепей есть вершина y 6= x; z (в противном случае есть ребро
xz 2 P1 \P2, что противоречит выбору x)
Легко увидеть, что участки цепей P1 è P2 между x è z образуют цикл
Последнее противоречит ацикличности G.
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (3))(4)
u |
x y |
P2 |
|
P1 z |
v |
|
Пусть z следующая после x общая вершина для цепей P1 è P2 (такая вершина есть, в крайнем случае z = v)
Между вершинами x è z по крайней мере на одной из цепей есть вершина y 6= x; z (в противном случае есть ребро
xz 2 P1 \P2, что противоречит выбору x)
Легко увидеть, что участки цепей P1 è P2 между x è z образуют цикл
Последнее противоречит ацикличности G. Значит наше предположение о возможности существования двух цепей было
неверным |
# |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Расин О.В. |
Деревья |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Деревья
Доказательство (4))(5)
Åñëè áû â G áûë öèêë C, то между любой парой вершин u è v этого цикла,
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (4))(5)
Åñëè áû â G áûë öèêë C, то между любой парой вершин u è v
этого цикла, было две непересекающихся простых цепи, что противоречит предположению
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (4))(5)
Åñëè áû â G áûë öèêë C, то между любой парой вершин u è v
этого цикла, было две непересекающихся простых цепи, что противоречит предположению
значит, в G нет циклов
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (4))(5)
Åñëè áû â G áûë öèêë C, то между любой парой вершин u è v
этого цикла, было две непересекающихся простых цепи, что противоречит предположению
значит, в G нет циклов
Покажем, что при добавление любого ребра появляется в точности один цикл
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (4))(5)
Åñëè áû â G áûë öèêë C, то между любой парой вершин u è v
этого цикла, было две непересекающихся простых цепи, что противоречит предположению
значит, в G нет циклов
Покажем, что при добавление любого ребра появляется в точности один цикл
î/ï Пусть найдется ребро e = uv, при добавлении которого появляется два различных цикла C1 C2
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (4))(5)
Åñëè áû â G áûë öèêë C, то между любой парой вершин u è v
этого цикла, было две непересекающихся простых цепи, что противоречит предположению
значит, в G нет циклов
Покажем, что при добавление любого ребра появляется в точности один цикл
î/ï Пусть найдется ребро e = uv, при добавлении которого появляется два различных цикла C1 C2
При удаление ребра e из каждого цикла получаем две различные простые (u; v)-öåïè P1 è P2
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (4))(5)
Åñëè áû â G áûë öèêë C, то между любой парой вершин u è v
этого цикла, было две непересекающихся простых цепи, что противоречит предположению
значит, в G нет циклов
Покажем, что при добавление любого ребра появляется в точности один цикл
î/ï Пусть найдется ребро e = uv, при добавлении которого появляется два различных цикла C1 C2
При удаление ребра e из каждого цикла получаем две различные простые (u; v)-öåïè P1 è P2 (åñëè P1 = P2, òî C1 = C2)
Расин О.В. Деревья