Теория Графов 4

Деревья

Доказательство (3))(4)

(3))(4)

Пусть G ациклический и m = n 1

Доказательство проведем и в два этапа: сначала покажем, что в графе между любой парой вершин есть простая цепь

(ò. å. ÷òî G связен), далее, что такая цепь единственна

1) пусть G не связный и имеет k компонент связности: T1,

T2; : : : ; Tk

поскольку G не имеет циклов, то для каждого i = 1; k ãðàô Ti ацикличен

Ti является деревом (в силу связности) для каждого i = 1; k

поскольку мы уже доказали (1))(2)

mi = ni 1 (åñëè ni è mi количество вершин и ребер в Ti) äëÿ каждого i = 1; k

Суммируя все эти равенства по i получаем

Деревья

Доказательство (3))(4)

(3))(4)

Пусть G ациклический и m = n 1

Доказательство проведем и в два этапа: сначала покажем, что в графе между любой парой вершин есть простая цепь

(ò. å. ÷òî G связен), далее, что такая цепь единственна

1) пусть G не связный и имеет k компонент связности: T1,

T2; : : : ; Tk

поскольку G не имеет циклов, то для каждого i = 1; k ãðàô Ti ацикличен

Ti является деревом (в силу связности) для каждого i = 1; k

поскольку мы уже доказали (1))(2)

mi = ni 1 (åñëè ni è mi количество вершин и ребер в Ti) äëÿ каждого i = 1; k

Суммируя все эти равенства по i получаем

Деревья

Доказательство (3))(4)

Суммируя равенства mi = ni 1 ïî i получаем

Расин О.В. Деревья

Деревья

Доказательство (3))(4)

Суммируя равенства mi = ni 1 ïî i получаем

m = åmi = å(ni 1) = åni k = n k

Расин О.В. Деревья

Деревья

Доказательство (3))(4)

Суммируя равенства mi = ni 1 ïî i получаем

m = åmi = å(ni 1) = åni k = n k

Поскольку по условию m = n 1, то из последнего равенства получаем k = 1

Расин О.В. Деревья

Деревья

Доказательство (3))(4)

Суммируя равенства mi = ni 1 ïî i получаем

k k k

m = åmi = å(ni 1) = åni k = n k

i=1 i=1 i=1

Поскольку по условию m = n 1, то из последнего равенства получаем k = 1

Значит в G только одна компонента связности, следовательно G связный граф

Расин О.В. Деревья

Деревья

Доказательство (3))(4)

Расин О.В. Деревья

Деревья

Доказательство (3))(4)

2) Покажем единственность простой цепи

Расин О.В. Деревья

Деревья

Доказательство (3))(4)

2) Покажем единственность простой цепи

î/ï Пусть найдутся вершины u è v, между которыми есть две различные простые цепи P1 è P2.

Расин О.В. Деревья