Теория Графов 4
.pdf
Деревья
Доказательство
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.
(1))(2)
Пусть G = (V; E) дерево.
Связность следует из определения дерева
Будем доказывать, что m = n 1 (индукция по числу вершин )
Á. È. Ïðè n = 1 имеем m = 0, à ïðè n = 2 имеем m = 1 (â ñèëó
связности).
Т. е. в этих случаях равенство m = n 1 выполняется.
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.
(1))(2)
Пусть G = (V; E) дерево.
Связность следует из определения дерева
Будем доказывать, что m = n 1 (индукция по числу вершин )
Á. È. Ïðè n = 1 имеем m = 0, à ïðè n = 2 имеем m = 1 (â ñèëó
связности).
Т. е. в этих случаях равенство m = n 1 выполняется.
Ø. È. Предположим, что неравенство выполнено для всех деревьев с меньшим чем n числом вершин.
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.
(1))(2)
Пусть G = (V; E) дерево.
Связность следует из определения дерева
Будем доказывать, что m = n 1 (индукция по числу вершин )
Á. È. Ïðè n = 1 имеем m = 0, à ïðè n = 2 имеем m = 1 (â ñèëó
связности).
Т. е. в этих случаях равенство m = n 1 выполняется.
Ø. È. Предположим, что неравенство выполнено для всех деревьев с меньшим чем n числом вершин.
Пусть в дереве G = (V; E) в точности jV j = n вершин.
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.
(1))(2)
Пусть G = (V; E) дерево.
Связность следует из определения дерева
Будем доказывать, что m = n 1 (индукция по числу вершин )
Á. È. Ïðè n = 1 имеем m = 0, à ïðè n = 2 имеем m = 1 (â ñèëó
связности).
Т. е. в этих случаях равенство m = n 1 выполняется.
Ø. È. Предположим, что неравенство выполнено для всех деревьев с меньшим чем n числом вершин.
Пусть в дереве G = (V; E) в точности jV j = n вершин.
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (1))(2)
Возьмем ребро e 2 E. Согласно 1.1 оно является мостом
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (1))(2)
Возьмем ребро e 2 E. Согласно 1.1 оно является мостом
Ãðàô G e имеет две компоненты связности T1 è T2 (по лемме об удалении моста)
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (1))(2)
Возьмем ребро e 2 E. Согласно 1.1 оно является мостом
Ãðàô G e имеет две компоненты связности T1 è T2 (по лемме об удалении моста)
Каждая из компонент T1 è T2
e T2
T1
является деревом (если бы в них были циклы, то они были бы циклами и в G )
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (1))(2)
Возьмем ребро e 2 E. Согласно 1.1 оно является мостом
Ãðàô G e имеет две компоненты связности T1 è T2 (по лемме об удалении моста)
Каждая из компонент T1 è T2
e T2
T1
является деревом (если бы в них были циклы, то они были бы циклами и в G )
Поэтому по предположению индукции m1 = n1 1 è m2 = n2 1
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (1))(2)
Возьмем ребро e 2 E. Согласно 1.1 оно является мостом
Ãðàô G e имеет две компоненты связности T1 è T2 (по лемме об удалении моста)
Каждая из компонент T1 è T2
e T2
T1
является деревом (если бы в них были циклы, то они были бы циклами и в G )
Поэтому по предположению индукции m1 = n1 1 è m2 = n2 1
(ãäå ni è mi число вершин и ребер в Ti (i = 1,2 ))
Расин О.В. Деревья
Деревья
Доказательство (1))(2)
Возьмем ребро e 2 E. Согласно 1.1 оно является мостом
Ãðàô G e имеет две компоненты связности T1 è T2 (по лемме об удалении моста)
Каждая из компонент T1 è T2
e T2
T1
является деревом (если бы в них были циклы, то они были бы циклами и в G )
Поэтому по предположению индукции m1 = n1 1 è m2 = n2 1
(ãäå ni è mi число вершин и ребер в Ti (i = 1,2 ))
Расин О.В. Деревья