- •Глава 1. Численные методы.
- •1.1 Структура погрешности в численном анализе.
- •Округление.
- •Погрешность вычисления функции при неточном задании аргументов. (Вопрос вычисления функции при наличии ошибки в вычислении ее аргумента)
- •1.2. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •1.3. Задача приближения функций. Интерполяция.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Общая задача интерполяции.
- •1.4. Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •Пример:
- •Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •1.5. Среднеквадратичное приближение функции.
- •1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •С другой стороны
- •1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •1.8. Многочлены Чебышева, их свойства и применение в задачах приближения функций.
- •Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •1.9. Равномерное приближение функций на отрезке.
- •1.10 Теоремы о равномерном приближении функций на отрезке.
- •Глава II. Численное интегрирование.
- •2.1. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •2.2 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •Глава III. Численные методы алгебры.
- •3.1. Принцип сжатых отображений.
- •3.2. Метод простых итераций для функциональных уравнений.
- •3.3.Метод Ньютона.
- •3.4. Численные методы линейной алгебры.
- •3.4.1. Нормы матриц. Спектральные свойства матриц.
- •Для любой квадратной матрицы и любой согласованной матричной нормы имеет место неравенство:
- •Простейшие следствия из определений.
- •3.4.2. Обусловленность матриц и систем уравнений.
- •3.4.3. Итерационные методы решения систем лау.
- •3.4.4 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •Некоторые определения.
- •Глава IV. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •4.1. Численное дифференцирование.
- •4.2.Численные методы решения задачи Коши.
- •4.2.1. Оценка погрешности метода Эйлера.
- •1. Ошибка растет с номером шага k.
- •4.2.2.Методы Рунге-Кутта.
- •4.3. Численные методы решения краевых задач для оду.
- •4.3.1.Задача аппроксимации на сетке.
- •4.3.2.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
- •Итерационная процедура устойчива по правой части тогда и только тогда, когда
- •При этом, если выполняется условие
С другой стороны
в силу ортогональности.
Подставляя в (8), получим
. (9)
Пример 2.
Пусть f(x)=|x|.
Аппроксимировать f(x) на [-1,1] в среднеквадратичном многочленом второй степени. Вычислить среднеквадратичную ошибку.
Используем ортогональную систему Лежандра:
Коэффициенты ck находим по формуле (7), учитывая вид полиномов Лежандра:
Далее вычисляем среднеквадратичную ошибку по формуле (9):
1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
Многочлен Pn(x) ортогонален любому алгебраическому многочлену m-ой степени Mm(x) при m<n.
Mm(x) можно единственным образом представить в виде линейной комбинации многочленов Лежандра:
(10)
Равенство (10) тождественное, поэтому коэффициенты ak единственным образом вычисляются путем приравнивания коэффициентов при старших степенях. Умножая обе части (10) на Pn(x), имеем
в силу ортогональности системы
Полином Pn(x) имеет на отрезке [-1,1] ровно n действительных и различных корней.
Заметим, что в силу теоремы Гаусса многочлен Pn(x) не может иметь более чем n корней (вообще говоря, комплексных). Пусть Pn(x) имеет меньше, чем n простых действительных корней. Обозначим их По этим точкам построим фундаментальный многочлен
Рассмотрим многочлен: - многочлен степени (k+n), который имеет нули четной кратности. Значит, новый многочленсохраняет знак при переходе через эти нули, т.е. сохраняет знак на [-1,1]. Отсюда следует, что
Но это противоречит свойству 1, так как Pn(x) обязательно должен быть ортогонален Mk(x).
Между двумя соседними нулями многочлена Pn(x) лежит ровно один нуль многочлена Pn-1(x).
Доказывается по индукции с помощью рекуррентного соотношения (6).
4. При n- четном многочлен Pn(x) – четная функция от x, при n- нечетном, Pn(x) – нечетная функция от x.
Лекция 5.
1.8. Многочлены Чебышева, их свойства и применение в задачах приближения функций.
Определение.
На отрезке [-1,1] определим многочлены Чебышева:
(1)
Найдем несколько первых многочленов Чебышева по формуле (1):
Далее используем формулу тригонометрии:
(2)
Полагая в (1) и подставляя в (2), получаем:
(3)
Формула (3) – рекуррентная формула для полиномов Чебышева. Из (3) в частности следует, что - многочленn-ой степени. Последовательно получаем:
и т.д.
Свойства многочленов Чебышева.
Система ортогональна на отрезке [-1,1] с весом
.
Имеем:
в силу ортогональности системы на отрезке [0,].
Вычислим норму:
.
Для четных (нечетных) n многочлен Tn(x) содержит только четные (нечетные) степени х, то есть является четной (нечетной) функцией.
Доказывается по индукции с помощью рекуррентной формулы (3).
Коэффициент при старшей степени xn многочлена Tn(x) равен 2n-1.
Доказывается по индукции с помощью рекуррентной формулы (3).
Многочлен Tn(x) имеет на интервале (-1, 1) ровно n различных действительных корней, определяемых формулой:
(4)
, причем максимум достигается в точках
(5)
При этом .
Из определения (1) следует, что для любого. Очевидно, что.
Замечание.
Нетрудно убедиться, что нули Tn(x) (формула (4)) и точки максимума полиномаTn(x) (формула (5)) образуют чередующуюся последовательность, а именно:
, а для остальных значений:, или
Многочлен среди всех многочленовn-ой степени с an=1
обладает тем свойством, что .
Доказывается от противного: пусть существует , что
. (6)
Разность () -многочлен (n-1)-ой степени, причем в силу (6) .
Кроме того, заметим, что в силу (6) для .
Рассмотрим разность
При переходе откразность меняет знак. Всего произойдетn раз смена знака
при переходе от точки к точке.Отсюда следует, что многочлен имеетn нулей на (-1;1) , что невозможно, так как это многочлен (n-1)-ой степени.
Замечание.
Благодаря свойству (6) многочлен называетсямногочленом наименее отклоняющимся от нуля.