- •Глава 1. Численные методы.
- •1.1 Структура погрешности в численном анализе.
- •Округление.
- •Погрешность вычисления функции при неточном задании аргументов. (Вопрос вычисления функции при наличии ошибки в вычислении ее аргумента)
- •1.2. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •1.3. Задача приближения функций. Интерполяция.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Общая задача интерполяции.
- •1.4. Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •Пример:
- •Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •1.5. Среднеквадратичное приближение функции.
- •1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •С другой стороны
- •1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •1.8. Многочлены Чебышева, их свойства и применение в задачах приближения функций.
- •Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •1.9. Равномерное приближение функций на отрезке.
- •1.10 Теоремы о равномерном приближении функций на отрезке.
- •Глава II. Численное интегрирование.
- •2.1. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •2.2 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •Глава III. Численные методы алгебры.
- •3.1. Принцип сжатых отображений.
- •3.2. Метод простых итераций для функциональных уравнений.
- •3.3.Метод Ньютона.
- •3.4. Численные методы линейной алгебры.
- •3.4.1. Нормы матриц. Спектральные свойства матриц.
- •Для любой квадратной матрицы и любой согласованной матричной нормы имеет место неравенство:
- •Простейшие следствия из определений.
- •3.4.2. Обусловленность матриц и систем уравнений.
- •3.4.3. Итерационные методы решения систем лау.
- •3.4.4 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •Некоторые определения.
- •Глава IV. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •4.1. Численное дифференцирование.
- •4.2.Численные методы решения задачи Коши.
- •4.2.1. Оценка погрешности метода Эйлера.
- •1. Ошибка растет с номером шага k.
- •4.2.2.Методы Рунге-Кутта.
- •4.3. Численные методы решения краевых задач для оду.
- •4.3.1.Задача аппроксимации на сетке.
- •4.3.2.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
- •Итерационная процедура устойчива по правой части тогда и только тогда, когда
- •При этом, если выполняется условие
Глава 1. Численные методы.
Лекция 1.
1.1 Структура погрешности в численном анализе.
Основные источники погрешностей:
Погрешности математической модели.
Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т.е. содержит погрешности.
Погрешности исходных данных.
Данные могут оказаться неточными.
Погрешности метода решения.
Численные методы заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т.д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи.
Погрешности округлений при выполнении арифметических операций.
В рамках численных методов погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми.
Рассмотрим подробнее пункт 4.
Пусть - приближенное представление числаX, т.е.
,
где - погрешность.
Определение 1.
Величина называетсяабсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .
Максимально возможное значение , т.е. число, удовлетворяющее неравенству, называетсямаксимальной, или предельной, абсолютной погрешностью (ошибкой).
Определение 2.
Величина, равная , называетсяотносительной ошибкой представления числа X числом .
Если , то числоназываетсямаксимальной предельной относительной ошибкой.
Округление.
Обычно при вычислении с плавающей запятой число X представляется в нормализованном виде.
,
где f - мантисса числа X,
,
а - основание системы счисления (а=2,8,10 и т.д.), L – порядок числа, .
Кроме того,
,
- цифра в k-ом разряде дробного числа, .
t – порядок числа - число используемых значащих цифр (характеристика вычислительного устройства).
Определение 3.
Пусть число X записано в позиционной системе счисления. Значащими называются все цифры, начиная от первой слева не равной 0.
Если число значащих цифр в представлении X превосходит t, то происходит округление.
Ошибки округления распространяются дальше при выполнении арифметических операций.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1.
Абсолютная погрешность суммы.
Пусть ,. Тогда
, где .
Т.к. , то, т.е. предельные абсолютные ошибки складываются.
Пример 2.
То же самое для разности. Предельные максимальные абсолютные погрешности аналогично складываются.
Пример 3.
Относительные погрешности произведения.
, где ,
, где
.
Считаем, что последнее слагаемое имеет второй порядок малости по сравнению с первыми двумя, и им пренебрегаем.
, ,
тогда получаем
, т.е. .
При умножении относительные максимальные ошибки приближенно складываются.
Пример 4.
Деление.
При делении относительные максимальные ошибки также складываются.
Погрешность вычисления функции при неточном задании аргументов. (Вопрос вычисления функции при наличии ошибки в вычислении ее аргумента)
Рассмотрим для определенности функцию двух переменных f(x,y), дифференцируемую в области G.
Необходимо вычислить значение , где точка.
Пусть ,.
По формуле конечных приращений Лагранжа для ,имеем
,
где - некоторая точка замкнутого прямоугольника,
.
Отсюда можно получить
.
Если получены оценки:
, , где,
то максимальная абсолютная ошибка вычисления функции:
.