Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Для БПМ13 / Лекции численные методы.docx
Скачиваний:
106
Добавлен:
06.03.2016
Размер:
2.21 Mб
Скачать

76

Глава 1. Численные методы.

Лекция 1.

1.1 Структура погрешности в численном анализе.

Основные источники погрешностей:

  1. Погрешности математической модели.

Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т.е. содержит погрешности.

  1. Погрешности исходных данных.

Данные могут оказаться неточными.

  1. Погрешности метода решения.

Численные методы заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т.д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи.

  1. Погрешности округлений при выполнении арифметических операций.

В рамках численных методов погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми.

Рассмотрим подробнее пункт 4.

Пусть - приближенное представление числаX, т.е.

,

где - погрешность.

Определение 1.

Величина называетсяабсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .

Максимально возможное значение , т.е. число, удовлетворяющее неравенству, называетсямаксимальной, или предельной, абсолютной погрешностью (ошибкой).

Определение 2.

Величина, равная , называетсяотносительной ошибкой представления числа X числом .

Если , то числоназываетсямаксимальной предельной относительной ошибкой.

Округление.

Обычно при вычислении с плавающей запятой число X представляется в нормализованном виде.

,

где f - мантисса числа X,

,

а - основание системы счисления (а=2,8,10 и т.д.), L – порядок числа, .

Кроме того,

,

- цифра в k-ом разряде дробного числа, .

t – порядок числа - число используемых значащих цифр (характеристика вычислительного устройства).

Определение 3.

Пусть число X записано в позиционной системе счисления. Значащими называются все цифры, начиная от первой слева не равной 0.

Если число значащих цифр в представлении X превосходит t, то происходит округление.

Ошибки округления распространяются дальше при выполнении арифметических операций.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1.

Абсолютная погрешность суммы.

Пусть ,. Тогда

, где .

Т.к. , то, т.е. предельные абсолютные ошибки складываются.

Пример 2.

То же самое для разности. Предельные максимальные абсолютные погрешности аналогично складываются.

Пример 3.

Относительные погрешности произведения.

, где ,

, где

.

Считаем, что последнее слагаемое имеет второй порядок малости по сравнению с первыми двумя, и им пренебрегаем.

, ,

тогда получаем

, т.е. .

При умножении относительные максимальные ошибки приближенно складываются.

Пример 4.

Деление.

При делении относительные максимальные ошибки также складываются.

Погрешность вычисления функции при неточном задании аргументов. (Вопрос вычисления функции при наличии ошибки в вычислении ее аргумента)

Рассмотрим для определенности функцию двух переменных f(x,y), дифференцируемую в области G.

Необходимо вычислить значение , где точка.

Пусть ,.

По формуле конечных приращений Лагранжа для ,имеем

,

где - некоторая точка замкнутого прямоугольника,

.

Отсюда можно получить

.

Если получены оценки:

, , где,

то максимальная абсолютная ошибка вычисления функции:

.