- •Глава 1. Численные методы.
- •1.1 Структура погрешности в численном анализе.
- •Округление.
- •Погрешность вычисления функции при неточном задании аргументов. (Вопрос вычисления функции при наличии ошибки в вычислении ее аргумента)
- •1.2. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •1.3. Задача приближения функций. Интерполяция.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Общая задача интерполяции.
- •1.4. Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •Пример:
- •Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •1.5. Среднеквадратичное приближение функции.
- •1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •С другой стороны
- •1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •1.8. Многочлены Чебышева, их свойства и применение в задачах приближения функций.
- •Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •1.9. Равномерное приближение функций на отрезке.
- •1.10 Теоремы о равномерном приближении функций на отрезке.
- •Глава II. Численное интегрирование.
- •2.1. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •2.2 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •Глава III. Численные методы алгебры.
- •3.1. Принцип сжатых отображений.
- •3.2. Метод простых итераций для функциональных уравнений.
- •3.3.Метод Ньютона.
- •3.4. Численные методы линейной алгебры.
- •3.4.1. Нормы матриц. Спектральные свойства матриц.
- •Для любой квадратной матрицы и любой согласованной матричной нормы имеет место неравенство:
- •Простейшие следствия из определений.
- •3.4.2. Обусловленность матриц и систем уравнений.
- •3.4.3. Итерационные методы решения систем лау.
- •3.4.4 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •Некоторые определения.
- •Глава IV. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •4.1. Численное дифференцирование.
- •4.2.Численные методы решения задачи Коши.
- •4.2.1. Оценка погрешности метода Эйлера.
- •1. Ошибка растет с номером шага k.
- •4.2.2.Методы Рунге-Кутта.
- •4.3. Численные методы решения краевых задач для оду.
- •4.3.1.Задача аппроксимации на сетке.
- •4.3.2.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
- •Итерационная процедура устойчива по правой части тогда и только тогда, когда
- •При этом, если выполняется условие
4.3. Численные методы решения краевых задач для оду.
4.3.1.Задача аппроксимации на сетке.
Постановка краевой задачи для ОДУ второго порядка:
(1)
Задача называется краевой, так как заданы два краевых условия.
Отличие от задачи Коши:
в задаче Коши все дополнительные условия даются в одной точке, в краевой задаче - в разных точках. Иногда можно привести краевую задачу к типу задач Коши. Встает проблема: как использовать граничное условие на правом конце?
Пусть дана сетка - шаг сетки.
Аппроксимируем на сетке производные с порядком:
;
Подставив данные соотношения в (1) получим:
.
Умножим все на , тогда получим следующую запись системы:
, где
(2)
и симметричны относительно 1.
Надо с той же точностью аппроксимировать граничные условия:
первого рода :
второго рода :
третьего рода :
Аппроксимация граничных условий:
на левом конце отрезка:
Выражаем :
А из уравнения (1):
.
После подстановки и приведения подобных слагаемых, получаем:
аналогично поступаем с краевым условием на правом конце отрезка. В итоге получаем неявную схему
(2’)
Таким образом, получили трех диагональную систему, которая решается прогонкой.
4.3.2.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
Рассмотрим снова краевую задачу для ОДУ 2-го порядка (1).
Удобно представить оператор таким образом, чтобы он включал в себя краевые условия:
(3)
задача (3) запишется в виде
(3’)
Определение1.
Говорят, что задача (3) аппроксимирована на сетке с порядком , если
, (4)
где - точное решение на сетке,
-сеточное решение задачи (3),
- сеточная норма.
Заметим, что по определению сеточное решение .
С другой стороны,
, т.к. при подстановке точного решения в левую часть сеточного уравнения системы (3), получим несколько иную сеточную правую часть. Поэтому, обозначив - “невязка”, из (4)
- по условию аппроксимация порядка p.
Итак
(5)
Определение2.
Пусть - невозмущенная задача на сетке, (6)
- возмущенная задача, причем .
Разностная схема (6) устойчива “в целом”, если малое изменение “правой части” приводит к малому изменению решения, т.е. если
где с2 не зависит от h.
Пример1.
Пусть в задаче Коши функция f(x,u) линейна по переменным.
Приведем к каноническому виду одношаговый итерационный процесс.
После аппроксимации производной y’ на сетке wh в точке (xn,yn), получаем
(7)
К такому же виду может быть приведена система уравнений в задаче Коши, где уже yn– вектор,Rh– матрица.
Пример2.
Приведем к такому же виду краевую задачу (3).
Введем векторы:
и матрицу (3) переписывается в виде
(8)
При таком преобразовании можно исследовать отдельно устойчивость по правой части и устойчивость по граничным условиям.
Теорема1. (Необходимый и достаточный признак устойчивости процедуры (8) по правой части).