1.4. Интерполяционный многочлен Ньютона.

Определение 1.

Пусть - сетка узлов,- значения функцииf(x) в узлах

: значения называютсяразделенными разностями нулевого порядка функции f(x).

: значения называются разделенными разностями первого порядка функции f(x).

: значения называютсяразделенными разностями второго порядка функции f(x).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

: значения называются разделенными разностями n–го порядка функции f(x).

Простейшие свойства разделенных разностей.

1. f(x₀, x₁, …, x_k) – симметричная функция своих аргументов, т.е. не меняется при любой перестановке аргументов.

Заметим, что любая разделенная разность есть линейная функция своих аргуметов.

f(x₀, x₁, …, x_k) = .

(устанавливается по индукции) => результат.

Пример:

Установить вид коэффициентов С_j при фиксированном k.

Самостоятельно.

2. Если f(x)=P_n(x) – многочлен n-ой степени, то разделенные разности порядков  (n+1) равны нулю.

Заметим, что P_n(x, x₀) многочлен (n-1)-ой степени,

P_n(x, x₀, x₁) многочлен (n-2)-ой степени,

………………………………………………

P_n(x, x₀, x₁, …, x _n-1) - многочлен 0-ой степени (т.е. const),

P_n(x, x₀, x₁, …, x _n)  0.

………………………………………………

Рассмотрим многочлен n-ой степени вида

(9)

Теорема 3.

Многочлен (9) является интерполяционным для f(x) на сетке узлов , т.е.

, i=0, 1,…, n (10)

Рассмотрим разделенные разности многочлена Лагранжа :

. (11)

Числитель в (11) – многочлен n -ой степени, обращающийся в 0 в т. . Следовательно, по теореме Безу числитель в (11) делится без остатка на, а, следовательно,-многочлен (n-1) -ой степени.

Из (11) находим

. (12)

Далее

. (13)

Числитель в (13) – многочлен степени (n-1) обращается в 0 при ,следовательно, делится набез остатка, L_n (x, x₀, x₁) - многочлен (n-2)-ой степени.

Из (12) с учетом (13) находим

. (14)

Продолжая таким же образом далее и учитывая, что (n+1) - ая разделенная разность

L_n(x, x₀, …, x_n)  0, окончательно находим

(15)

Но по условию теоремы - интерполяционный многочлен дляf(x) , т.е.

, i=0, 1,…, n

Следовательно, все разделенные разности для иf(x) совпадают, поэтому (15) можно переписать

(16)

т.е. получаем представление (9), что и требовалось доказать.

Замечание 1.

Мы получили другую форму представления интерполяционного многочлена Лагранжа. Многочлен (9) называется интерполяционным многочленом Ньютона и обозначается также - .

Замечание 2.

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа содержит значенияв явном виде. Это удобно, когда необходимо построить интерполяционный многочлен на тех же узлах, но для другой функции –g(x). Тогда значения достаточно заменить на.

Многочлен в форме Ньютона содержитнеявно (через разделенные разности).

Однако, он удобен, когда для той же функции f(x) необходимо увеличить порядок n. Тогда к исходному многочлену достаточно добавить несколько членов стандартного вида.