1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.

Пусть H- гильбертово пространство со скалярным произведением <f,g> и, соответственно, нормой . Важным примером такого пространства является так называемое пространство- пространство функцийf(x), для которых конечен интеграл:

(1)

Здесь h(x)- так называемая весовая функция, удовлетворяющая условиям:

1. h(x)0 на [a,b].

2. Если промежуток [a,b]- конечный, то существует и конечен;

Если же [a,b]=(0,+), то должно выполняться условие:

т.е. должны существовать любые моменты весовой функции.

Определение 1.

Для определено скалярное произведение:

(2)

и соответственно норма:

согласно условию (1).

Используя неравенство Коши – Буняковского - Шварца, получаем

Поэтому скалярное произведение существует для

Определение 2.

Расстояние между элементами f и g определяется равенством:

.

Возникает вопрос о том, как понимать нулевой элемент. Если норма , следует ли отсюда, чтоf=g? Вводится терминология:f=gпочти всюду, то есть они могут отличаться в конечном числе точек.

Определение 3.

f и g ортогональны на отрезке [a,b] с весом h(x), если <f,g>=0 (кратко пишут ).

Если в гильбертовом пространстве взять любую линейно независимую систему ,i=0,1,2,…, то ее можно ортогонализировать.

Рассмотрим в качестве примера систему: Приконечный набор степенных функций линейно независим, поэтому на базе этой системы можно построить ортогональные полиномы. Известна следующая рекуррентная процедура ортогонализации (процедура Грама - Шмидта):

(3)

Коэффициенты b_k+1,j определяются из условий ортогональности:

Последовательно умножая (3) на получаем

(4)

Пример 1.

Пусть h(x)1, [a,b]=[-1,1].

Построить первые три ортогональных полинома по процедуре (3) - (4).

Далее имеем:

,

следовательно,

Действуя, аналогично далее, получаем:

Для системы ортогональных многочленов на отрезке [-1,1] с весом h(x)=1 справедлива формула Родрига:

(5)

Из (5) последовательно получаем:

и т.д.

Получаемые таким образом полиномы называются полиномами Лежандра.

Замечание.

Найденные по процедуре (3) – (4) ортогональные многочлены могут лишь множителями отличаться от тех, которые строятся по явной формуле Родрига (5).

Квадрат нормы у этих полиномов равен:

То есть эти многочлены не нормированы, так как

Для всех классических многочленов существует рекуррентная формула. Для полиномов Лежандра она имеет следующий вид:

(6)

Пусть Рассмотрим среднеквадратичное приближение:

где - среднеквадратичная ошибка аппроксимации,

- отрезок ряда Фурье для функции f(x) по системе ортогональных многочленов {P_k(x)}.

В силу ортогональности многочленов Лежандра, система нормальных уравнений (2) из §1.5 становится диагональной, и ее решение приводит к следующим выражениям для коэффициентов c_k:

(7)

При этом

то есть обеспечивается минимум нормы в L₂.

Распишем подробно ошибку аппроксимации

(8)