- •Глава 1. Численные методы.
- •1.1 Структура погрешности в численном анализе.
- •Округление.
- •Погрешность вычисления функции при неточном задании аргументов. (Вопрос вычисления функции при наличии ошибки в вычислении ее аргумента)
- •1.2. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •1.3. Задача приближения функций. Интерполяция.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Общая задача интерполяции.
- •1.4. Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •Пример:
- •Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •1.5. Среднеквадратичное приближение функции.
- •1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •С другой стороны
- •1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •1.8. Многочлены Чебышева, их свойства и применение в задачах приближения функций.
- •Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •1.9. Равномерное приближение функций на отрезке.
- •1.10 Теоремы о равномерном приближении функций на отрезке.
- •Глава II. Численное интегрирование.
- •2.1. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •2.2 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •Глава III. Численные методы алгебры.
- •3.1. Принцип сжатых отображений.
- •3.2. Метод простых итераций для функциональных уравнений.
- •3.3.Метод Ньютона.
- •3.4. Численные методы линейной алгебры.
- •3.4.1. Нормы матриц. Спектральные свойства матриц.
- •Для любой квадратной матрицы и любой согласованной матричной нормы имеет место неравенство:
- •Простейшие следствия из определений.
- •3.4.2. Обусловленность матриц и систем уравнений.
- •3.4.3. Итерационные методы решения систем лау.
- •3.4.4 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •Некоторые определения.
- •Глава IV. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •4.1. Численное дифференцирование.
- •4.2.Численные методы решения задачи Коши.
- •4.2.1. Оценка погрешности метода Эйлера.
- •1. Ошибка растет с номером шага k.
- •4.2.2.Методы Рунге-Кутта.
- •4.3. Численные методы решения краевых задач для оду.
- •4.3.1.Задача аппроксимации на сетке.
- •4.3.2.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
- •Итерационная процедура устойчива по правой части тогда и только тогда, когда
- •При этом, если выполняется условие
1.2. Понятие близости в метрическом пространстве.
Определение 1.
Множество X элементов произвольной природы (не обязательно числовое множество) называется метрическим пространством, если любой паре элементов поставлено в соответствие число, (метрика, или расстояние) в соответствии с аксиомами:
А1. тогда и только тогда, когдаx=y.
А2. .
А3. – неравенство треугольника.
Определение 2.
Говорят, что последовательность элементов метрического пространстваX сходится к элементу , если.
Определение 3.
Последовательность элементов метрического пространстваX называется фундаментальной, если
.
Определение 4.
Метрическое пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к некоторому элементу этого пространства.
Замечания.
Не любое метрическое пространство является полным.
Например, множество всех рациональных чисел с метрикой не является полным, т.к., скажем, последовательность- фундаментальная, но- иррациональное число.
Сходимость большинства итерационных процессов удается доказать только в полном метрическом пространстве, следовательно, полнота играет важную роль в числовом анализе.
Определение 5.
Множество X называется нормированным линейным пространством, если
оно является линейным пространством, т.е. в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число с известными свойствами.
любому элементу поставлено в соответствие число(нормаx), удовлетворяющее аксиомам:
А1. ,
А2.
А3. – неравенство треугольника.
Замечание.
Любое нормированное линейное пространство X можно считать метрическим, введя метрику по формуле
. (1)
Если последовательность нормированного пространстваX сходится в смысле метрики (1), то говорят о сходимости по норме пространства X.
Нетрудно убедиться, что для метрики (1) выполняются все аксиомы метрики.
Приведем некоторые примеры классов функций и соответствующих линейных пространств.
Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
Пример 1.
Множество всех функций, заданных на отрезке [a, b] и имеющих на нем непрерывные производные до k -го порядка включительно, называется классом .
Пример 2.
При k=0 получаем класс - множество непрерывных на отрезке [a, b] функций.
Если на ввести норму по формуле
, (2)
то получим линейное нормированное пространство C[a,b] (операции сложения и умножения на число вводятся обычным образом f+g=f(x)+g(x), ).
Аксиомы А1, А2 – очевидно, выполняются.
В справедливости А3 нетрудно также убедиться с помощью свойств модуля и теоремы Вейерштрасса.
Замечания.
Норму в классе можно ввести не единственным образом.
Например,
. (3)
Сходимость последовательности по норме (2) – это равномерная сходимость, т.е. последовательностьсходится кf - это то же самое, что
- это равномерная сходимость.
Пространство C[a,b] с нормой (2) является полным в силу теоремы мат. анализа: равномерно сходящаяся последовательность в замкнутой области сходится к непрерывной функции.
Пример 3.
Множество всех функций, p-я степень модуля которых интегрируема на отрезке [a, b], называется линейным нормированным пространством , если на нем введена норма по формуле
. (4)
Сходимость по норме (4) называется сходимостью в среднем (при p=2 - среднеквадратичная сходимость).
Замечание.
Пусть , тогда.
,
.
Отсюда следует, что из сходимости последовательности по норме C следует ее сходимость по норме , но не наоборот.
Лекция 2.