- •Глава 1. Численные методы.
- •1.1 Структура погрешности в численном анализе.
- •Округление.
- •Погрешность вычисления функции при неточном задании аргументов. (Вопрос вычисления функции при наличии ошибки в вычислении ее аргумента)
- •1.2. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •1.3. Задача приближения функций. Интерполяция.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Общая задача интерполяции.
- •1.4. Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •Пример:
- •Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •1.5. Среднеквадратичное приближение функции.
- •1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •С другой стороны
- •1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •1.8. Многочлены Чебышева, их свойства и применение в задачах приближения функций.
- •Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •1.9. Равномерное приближение функций на отрезке.
- •1.10 Теоремы о равномерном приближении функций на отрезке.
- •Глава II. Численное интегрирование.
- •2.1. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •2.2 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •Глава III. Численные методы алгебры.
- •3.1. Принцип сжатых отображений.
- •3.2. Метод простых итераций для функциональных уравнений.
- •3.3.Метод Ньютона.
- •3.4. Численные методы линейной алгебры.
- •3.4.1. Нормы матриц. Спектральные свойства матриц.
- •Для любой квадратной матрицы и любой согласованной матричной нормы имеет место неравенство:
- •Простейшие следствия из определений.
- •3.4.2. Обусловленность матриц и систем уравнений.
- •3.4.3. Итерационные методы решения систем лау.
- •3.4.4 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •Некоторые определения.
- •Глава IV. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •4.1. Численное дифференцирование.
- •4.2.Численные методы решения задачи Коши.
- •4.2.1. Оценка погрешности метода Эйлера.
- •1. Ошибка растет с номером шага k.
- •4.2.2.Методы Рунге-Кутта.
- •4.3. Численные методы решения краевых задач для оду.
- •4.3.1.Задача аппроксимации на сетке.
- •4.3.2.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
- •Итерационная процедура устойчива по правой части тогда и только тогда, когда
- •При этом, если выполняется условие
Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
Пусть ,h>0, i=0, …, n
Определение 2.
1. Величина называетсяконечной разностью первого порядка.
2.
Величина
называется конечной разностью второго порядка.
. . . . . . . . . . . . . . . .
n. Величина называетсяконечной разностью n-го порядка.
Лемма 1.
Для равноотстоящих узлов между разделенными и конечными разностями существует следующая связь:
, k = 0, 1, … (17)
По индукции:
k=0 – очевидно;
k=1
- верно.
Пусть (17) установлено для номера k. Докажем, что тогда оно верно и для номера (k+1).
(k+1):
Т.о., установлено, что (17) верно для k{0, 1, …,n}.
Лемма 2.
Пусть задана сетка равноотстоящих узлов на отрезке [a,b]:
a x0 < x1 <…< xn < xn+1 b, xk = x0 + hk, k = 0, 1, …, n+1
и .
Тогда существует точка такая, что
(18)
По индукции:
k=1:
k=2:
………………………………… и т.д.
k=n+1:
.
Установим теперь вид многочлена Ньютона для равноотстоящих узлов.
Введем переменную . Очевидно, что, если
x-xk=h(q-k), k = 0, 1, …, n.
В формуле полинома Ньютона (9) выразим все разности (x-xk) через q и все разделенные разности по формуле (17):
(19)
Оценим погрешность формулы Ньютона (19).
Из формул остаточного члена (4) и (5) с учетом леммы 2, следует
, ,и так далее.
Земечание.
Интерполяционную формулу (19) применяют на практике для точек x, близких к x0. Если необходимо вычислить приближенное значение функции f(x) в точках x, близких к правому концу отрезка, то полагают и записывают интерполяционный многочлен Ньютона в терминах данногоq.
Пример .
Записать выражение многочлена Ньютона для данного случая.
Самостоятельно.
Лекция 4.
1.5. Среднеквадратичное приближение функции.
Рассмотрим задачу наилучшего среднеквадратичного приближения функции полиномомпо системе.
Определение 1.
Обобщенным полиномом порядка m по системе {k} называется линейная комбинация
где Ck – произвольные вещественные коэффициенты.
Задача. Найти полином , наименее уклоняющийся от функцииf в метрике L2, т.е. удовлетворяющий условию:
Теорема 1.
Если система линейно независима, то задача наилучшего среднеквадратичного приближения по этой системе однозначно разрешима.
Запишем квадрат расстояния между функцией и полиномом:
(1)
Очевидно, что величина - неотрицательно определенная квадратичная функция переменных, а такая функция достигает минимального значения. Таким образом, решение задачи среднеквадратичного приближения существует.
Докажем единственность решения.
Запишем необходимые условия минимума:
, i=0,…,m.
Вычисляя частные производные по ci выражения (1), получим линейную cистему уравнений:
(2)
Система (2) называется нормальной системой.
Выпишем определитель этой системы
(3)
Определитель системы (3) – так называемый определитель Грама системы . Известно, что если система- линейно независима, то определитель0 (легко доказывается от противного). Согласно условию теоремы0 и система (2) имеет единственное решение.