2.2 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.

Рассмотрим общую задачу численного интегрирования с весовой функцией . При построении квадратурных формул интерполяционного типа необходимо ввести дополнительно условие на весовую функцию:

(1)

Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :

. (2)

При построении квадратурных формул Ньютона-Котеса узлы распределялись равномерно по отрезку [a,b]. Очевидно, что такой способ выбора узлов становится невозможным для несобственных интегралов с бесконечными пределами.

Возникает вопрос: как выбрать систему узлов квадратурной формулы, чтобы формула (2) имела наивысшую возможную алгебраическую степень точности?

Напомним, что квадратурная формула имеет алгебраическую степень точности , если она точна для многочленов степени меньшей или равной.

Заметим, что формула (2) содержит всего 2n неизвестных параметров (n узлов и n весовых коэффициентов). Столько же коэффициентов содержит и произвольный многочлен степени 2n-1.

Таким образом, наивысшая алгебраическая степень точности формулы (2) не может быть больше 2n-1.

Определение 1.

Квадратурная формула (2), обеспечивающая условие:

называется квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности.

Теорема 1.

Пусть {P_k(x)}, k=0,1,…, - система ортогональных с весом многочленов на [a,b].

Для того чтобы формула (2) была квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности, необходимо и достаточно, чтобы узлы совпадали с нулями многочленаP_n(x). При этом такая квадратурная формула - единственная.

Необходимость.

Из теории ортогональных многочленов известно, что при выполнении условия (1) на весовую функцию, существует полная ортогональная на [a,b] c весом система алгебраических многочленов:

, (3)

где - символ Кронекера.

При этом все нули многочлена P_n(x) при действительны и расположены на [a,b].

Как и при выводе интерполяционных формул, обозначим

- полином n-ой степени, нули которого совпадают с узлами интерполяции.

Рассмотрим функцию . Так как- алгебраический многочлен степени, то по условию теоремы формула (2) - точна, т.е.. Но т.к.то из (2)

ортогональна системе лишь коэффициентом при старшей степени отличается от многочлена- являются нулями полиномаP_n(x).

Достаточность.

Пусть - нули полиномаP_n(x), и - полином степени. Требуется доказать, чтодля.

Достаточно рассмотреть случай (если формула точна для многочлена степени, то она автоматически точна и для многочлена любой меньшей степени).

Пусть . Представим этот многочлен в виде:

, (4)

где - многочлен-ой степени (частное от деленияна),,- многочленр-ой степени (остаток от деления).

Т.к. - нули полинома, то из (4) следует, что

,

т.е. является интерполяционным многочленом для:

, (5)

где - фундаментальный многочлен Лагранжа- степени.

Учитывая (4) и (5), распишем интеграл:

=(6)

Формула (6) - квадратурная формула интерполяционного типа, причем дляи, значит, и для любого многочлена степени, меньшей или равной.

Единственность квадратурной формулы (2) следует из единственности выражений для нулей ортогонального полиномаP_n(x).

Определение 2.

Квадратурная формула (6) наивысшей алгебраической степени точности носит название формулы Гаусса-Кристоффеля, а весовые коэффициенты -коэффициенты Кристоффеля.

Теорема 2.

Весовые коэффициенты Кристоффеля удовлетворяют следующим условиям:

1. ,

2. 

3. . (7)

По доказанному в теореме 1, формула (6) точна для многочленов порядка , в частности, для- свойство (2).

Возьмем в качестве полином степени:

, где- произвольный номер, а- фундаментальный многочлен Лагранжа, построенный по нуляммногочлена. Учитывая свойства многочленов, получим из (6):

.

Из последнего равенства следует, в частности, что (свойство 1)). Кроме того заметим, что, т.к. эти два полинома имеют одну и ту же степень, коэффициент при старшей степени равен 1, и имеют одни и те же нулина отрезкеформула (7), т.е. свойство 3) доказано.

Замечание 1.

Для остаточного члена квадратурной формулы Гаусса-Кристоффеля справедливо представление:

(8)

где ,- нули полинома,(a,b).

Без доказательства.

Замечание 2.

Классические ортогональные многочлены обычно строятся для канонических промежутков: с соответствующими весами. Если- конечный промежуток, то его с помощью линейного преобразования

.

приводим к отрезку (). При этом:

.

Приведем основную сводку квадратурных формул Гаусса-Кристоффеля для основных канонических промежутков.

1. , - нули полиномов Лежандра

Рекуррентные соотношения:

; или ,,.

2. , ,- нули полинома Чебышева

Рекуррентные соотношения:

,

,

3. ,

- нули полинома Лагерра .

Рекуррентные соотношения:

,,

4. , ;- нулиполинома Эрмита .

Рекуррентные соотношения:

, .

Пример 1.

Вычисляется интеграл с помощью квадратурной формулы Гаусса-Кристоффеля порядка. Оценить по модулю остаточный член.

Согласно случаю 2) из таблицы:

, где .

Пример 2.

Вычисляется интеграл с помощью квадратурной формулы Гаусса-Кристоффеля порядка. Оценить по модулюи указать саму формулу.

нули многочлена Лежандра . Согласно таблице (случай 1),

,

.

Найдем нули полинома

, ,.

Найдем

,

,

.

,

,

.