Глава II. Численное интегрирование.

Лекция 7.

2.1. Квадратурные формулы на основе интерполяций.

Пусть требуется вычислить интеграл:

, (1)

где -весовая функция

( абсолютно интегрируема на с весом (x))

Рассмотрим сначала случай.

Определение.

Квадратурной формулой n-го порядка для интеграла (1) называется выражение вида:

, (2)

где - веса квадратурной формулы,

- узлы ,(узел),-остаточный член квадратурной формулы.

Начнем с рассмотрения простого примера.

Пример 1.

Пусть ,- строго выпукла на этом отрезке,,().Заменимконстантой на. Как ее выбрать? (т.е. приблизить функцию полиномом нулевой степениQ₀(x)).

1) Положим см. рисунок. Площадь-формула прямоугольника.

2) - что лучше?

3) Выберем таким образом, чтобы, причемmin в классе функций.

Первый подход связан с приближением функции интерполяционным многочленом. Это наиболее простой путь получения квадратурных формул. Рассмотрим этот подход наиболее подробно.

Положим

, (3)

где - многочлен Лагранжа, построенный по узлам, выбираемых пока произвольно. Как известно из теории интерполяции (Л-2)

, где (4)

(5)

- фундаментальные полиномы Лагранжа.

Остаточный член интерполяционной формулы имеет вид (Л-2):

,

где

Из (3) и (4) (6)

Проинтегрируем формулу (6) по

Обозначим

, (7)

(8)

(7)-веса, (8)-остаточный член квадратурной формулы, интегралы в (7) легко вычисляются, как интегралы от полиномов. Рассмотрим некоторые частные случаи.

n=0

Нужна одна точка (узел) .

Если используя формулы (5) и (7), получим формулу прямоугольников типа 1) из примера 1. Заметим, что исследование остаточного члена в виде (8) не совсем удобно, так как необходимо уточнить точку, которая определяется в соответствии с теоремой о среднем. Будем оценивать остаточный член по модулю:

, (9)

где .

Пример.

Получить оценку остаточного члена для формулы прямоугольников.

Самостоятельно.

Перейдем к выводу квадратурной формулы порядка 1.

n=1

Узлы: .Согласно формулам (5), имеем

По формуле (7)

–формула трапеций(10)

Площадь под кривой y=f(x) приближается с помощью формулы

- площадь трапеции.

Геометрическая иллюстрация.

Оценим остаточный член формулы трапеций:

(11)

Формулы Ньютона-Котеса.

Для повышения точности формулы трапеций введем на более густую равномерную сетку с шагомh: ,,.

Используя полученное разбиение, запишем

и применим на каждом отрезке формулу трапеций (10)

, (12)

где , согласно (11).

Формула (12) носит название обобщенной формулы трапеций.

Определение.

Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами носят название формул Ньютона-Котеса порядка n с (N+1) узлами, где n- порядок интерполяции.

(12) – формула Ньютона-Котеса порядка n=1 c (N+1) узлами.

Определение.

Говорят, что данная квадратурная формула имеет алгебраическую точность , еслидля многочлена степени меньшей или равнойформула трапеций (10)-точна для многочлена,то есть, имеет алгебраическую точность 1.

Теорема 1.

Пусть n- четное и соответствующая квадратурная формула имеет алгебраическую точность .Тогда, если узлы интерполяции расположены симметрично относительно середины отрезка, причем точка является одним из узлов, то:

1. алгебраическая точность квадратурной формулы повышается на 1, т.е. при n=2m получаем v=2m+1;

2. коэффициенты квадратурной формулы удовлетворяют дополнительным условиям симметрии,.

Пусть n=2m и (2m+1) узлов x₀, x₁, …, x_2m удовлетворяют условиям симметрии:

Необходимо доказать, что квадратурная формула 2m-го порядка с таким расположением узлов имеет алгебраическую точность Имеют место следующие очевидные утверждения:

1. Если квадратурная формула точна для какого-либо конкретного полинома степени n+1, то она точна и для любого полинома той же степени (учесть, что по условию квадратурная формула точна для полинома степени n).

2. .

Встроим в систему узлов ещё один узел и запишем интерполяционный полиномв форме Ньютона с разделенными разностями:

Согласно свойствам разделенных разностей, величина -конечна при любом

А согласно утверждению 2):

по условию, следовательно,

Утверждение теоремы о симметрии коэффициентов (весов) квадратурной формулы следует из симметрии фундаментальных полиномов (5) относительно центрального узла.

Рассмотрим более подробно случай n=2 (параболическая интерполяция).

Учитывая теорему 1, выберем узлы:

обозначим

замена

,

,

.

Вычисляем квадратурные коэффициенты (веса):

,

,

-можно было не вычислять.

(13)

-формула параболформула Симпсона.

Оценим остаточный член формулы Симпсона. Согласно (9)

,

,

,

. (14)

Учитывая теорему 1 о том, что формула Симпсона (13) должна быть точна для многочлена 3-й степени, формулу остаточного члена можно уточнить:

Пусть, например, разложим в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (с центром в точке)

(15)

Замечание.

Более точная оценка остаточного члена формулы Симпсона (с учетом теоремы 1) приводит к оценке:

. (15')

Для уменьшения погрешности поступим аналогично предыдущему при выводе формулы трапеций. Заметим, что в соответствии с условиями теоремы 1, мы имеем нечетное число узлов, причем последний узел совпадает с b и имеет обязательно четный номер:

Пусть число узлов=

Рассмотрим отрезок

для тройки узлов применим формулу парабол:

.

Просуммируем по k (число отрезков ):

(16)

Оценим остаточный член формулы Симпсона (16). Учитывая (15’), заменяя Н на и складывая погрешности на каждом интервале, получим:

.

Лекция 8