- •Глава 1. Численные методы.
- •1.1 Структура погрешности в численном анализе.
- •Округление.
- •Погрешность вычисления функции при неточном задании аргументов. (Вопрос вычисления функции при наличии ошибки в вычислении ее аргумента)
- •1.2. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •1.3. Задача приближения функций. Интерполяция.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Общая задача интерполяции.
- •1.4. Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •Пример:
- •Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •1.5. Среднеквадратичное приближение функции.
- •1.6. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •С другой стороны
- •1.7. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •1.8. Многочлены Чебышева, их свойства и применение в задачах приближения функций.
- •Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •1.9. Равномерное приближение функций на отрезке.
- •1.10 Теоремы о равномерном приближении функций на отрезке.
- •Глава II. Численное интегрирование.
- •2.1. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •2.2 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •Глава III. Численные методы алгебры.
- •3.1. Принцип сжатых отображений.
- •3.2. Метод простых итераций для функциональных уравнений.
- •3.3.Метод Ньютона.
- •3.4. Численные методы линейной алгебры.
- •3.4.1. Нормы матриц. Спектральные свойства матриц.
- •Для любой квадратной матрицы и любой согласованной матричной нормы имеет место неравенство:
- •Простейшие следствия из определений.
- •3.4.2. Обусловленность матриц и систем уравнений.
- •3.4.3. Итерационные методы решения систем лау.
- •3.4.4 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •Некоторые определения.
- •Глава IV. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •4.1. Численное дифференцирование.
- •4.2.Численные методы решения задачи Коши.
- •4.2.1. Оценка погрешности метода Эйлера.
- •1. Ошибка растет с номером шага k.
- •4.2.2.Методы Рунге-Кутта.
- •4.3. Численные методы решения краевых задач для оду.
- •4.3.1.Задача аппроксимации на сетке.
- •4.3.2.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
- •Итерационная процедура устойчива по правой части тогда и только тогда, когда
- •При этом, если выполняется условие
1.3. Задача приближения функций. Интерполяция.
В численном анализе рассматриваются следующие задачи приближения функций:
Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
Задана функция y(x), некоторый класс функций X и некоторая норма, или метрика.
Найти функцию , такую что.
Чаще всего используются нормы и, такие что
, (равномерное приближение)
. (среднеквадратичное приближение)
Задача приближения полиномами.
Пусть класс X состоит из функций вида
,
где - заданная последовательность функций.
Например, при получаем задачу приближения алгебраическими полиномами. Приили- тригонометрическими полиномами и т.п.
Тригонометрическими функциями приближаем, когда строим ряды Фурье.
Общая задача интерполяции.
Пусть f(x) – определена на [a,b] и принадлежит некоторому классу.
Задана сетка узлов a x0 < x1 <…< xn b.
Требуется построить функцию
,
линейную относительно функций k(x) и такую, что выполняется условие
, (1)
причем, система {k(x)}k=0, …, n линейно независима.
Выбор системы {k(x)} определяется классом функций f(x).
Частный случай – интерполяция многочленами:
{k(x)} = {xk}, k = 0, 1, …, n
Пусть Ln(x) – искомый интерполяционный многочлен n-ой степени.
Должно выполняться условие:
. (2)
Определитель системы (2) называется определителем Вандермонда.
.
Замечание 1.
Система (2) плохо обусловлена, в связи с чем, ее численное решение затруднительно. Понятие плохой обусловленности будет подробно рассмотрено в лекции 11.
Поэтому интерполяционный полином находят другим способом.
Найдем частные полиномы , обладающие свойством
.
В качестве таких полиномов можно взять
.
Тогда полином , обладающий свойством, можно записать в виде
. (3)
Очевидно, - полиномn-го порядка, или n-ой степени. Полученный таким способом полином называют интерполяционным полиномом Лагранжа.
Подведем некоторые итоги.
Итак, поставленная задача интерполяции функции y(x) на сетке узлов алгебраическим полиномомn-ой степени решается с помощью интерполяционного полинома Лагранжа (3).
Теорема 1.
Полином - единственное решение задачи (2).
Пусть существует другой полином такой, что.
Поскольку иполиномы степениn, то -- полином степени, причем в узлах интерполяции разность
Но полином степени не может иметь(n+1) корней, следовательно,
=- единственный полином Лагранжа.
Существуют и другие формы представления помимо (3).
Рассмотрим погрешность аппроксимации функции y(x) с помощью полинома .
Теорема 2.
Пусть функция ,, (максимум существует, т.к.(n+1)–я производная непрерывна, следовательно, максимум достигается на отрезке [a,b]). Пусть задана сетка узлов ,- интерполяционный полином Лагранжа. Тогда для погрешности интерполяции справедливы оценки:
, (4)
, (5)
где - специальный полином (n+1)-ой степени. (6)
Запишем y(x) в виде:
, (*)
где - погрешность интерполяции в точкеx[a,b].
Очевидно, что
, i=0, 1,…, n (7)
С учетом (7) можно искать в виде
.
Зафиксируем ,
Рассмотрим функцию
. (8)
Очевидно, обращается в 0 в(n+2) -х точках
t=x:
(см. (*))
:
, (см. (6)) i=0,1,2…n
По теореме Ролля на интервале (a,b) существует, по крайней мере, (n+1) точка, в которой обращается в 0.
По теореме Ролля на интервале (a,b) существует, по крайней мере, n точек, которых .
И так далее…
Существует, по крайней мере, одна точка такая, что.
Учитывая, что
,
и дифференцируя (n+1) раз формулу (8) по t в точке получим
,
.
Поэтому
.
Отсюда следуют (4) и (5).
Пример 1.
Пусть , [a,b] - отрезок [100,144].
Построить интерполяционный многочлен второго порядка L2(x) в узлах
, ,.
Оценить погрешность интерполяции в т. x=116 и на всем отрезке [a,b].
,
,
,
.
Лекция 3.