int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012
.pdf
|
Физика для старшеклассников и абитуриентов |
|
|
Дано: |
Решение |
n |
Конус тени образуют лучи, упавшие на |
Sводу почти под углом 900. Глубину тени можно
D = 900 |
определить из треугольника абс: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = R ctg J. |
(1) |
||||||||||
h — ? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Радиус диска выразим через его площадь: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
S = SR2, |
откуда |
|
R = |
|
S |
. |
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|||
По закону преломления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin α = n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
sin D = sin 900 = 1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
sin J = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg J = cos γ |
|
|
1 − sin2 γ |
|
1 − |
|
|
|
|
|
n2 − 1 |
= |
|
|||||||
= |
= |
n2 |
|
= n |
n2 − 1 . (3) |
|||||||||||||||
|
|
sin γ |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
sin γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С учетом (2) и (3) формула (1) примет вид: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
h = |
n2 − 1 = |
S |
n2 |
− 1 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: h = |
|
|
S |
(n2 − 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С15. Расстояние между двумя собирающими линзами 40 см. На расстоянии 8 см от левой собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см слева от нее ставят вертикальную стрелку высотой 20 мм. Чему будет равна высота изображения стрелки, даваемого системой этих линз, если фокусное расстояние второй линзы 25 см?
Обозначим l расстояние между линзами, d1 — расстояние от предмета до линзы Л1, F1 — фокусное расстояние линзы Л1, h1 — высоту стрелки, F2 — фокусное расстояние линзы Л2, H2 — высоту изображения стрелки, даваемого системой линз, f1 — расстояние от линзы Л1 до первого изображения,
690
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
d2 — расстояние от первого изображения до линзы Л2, f2 — расстояние от линзы Л2 до второго изображения, Н1 — высота первого изображения.
Дано: |
|
Решение |
|
||
l = 40 см |
|
Построим сначала изображение А1В1 |
d1 = 8 см |
|
предмета АВ в линзе Л1. Поскольку предмет |
F1 = 10 см |
|
расположен между фокусом и линзой, его |
h1 = 20 мм |
|
изображение будет мнимым, увеличенным |
F2 = 25 см |
|
и прямым. Это изображение А1В1 станет |
|
|
предметом для второй линзы, а его изобра- |
|
|
|
H2 — ? |
|
жением будет стрелка А2В2 (рис. 403). |
|
|
|
Л1 |
|
|
Л2 |
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
d1 |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
B2 |
|
B1 |
|
|
|
|
||
|
F1 |
O1 |
F1 |
F2 |
O2 |
F2 |
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
f1 |
|
|
l |
|
f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 403 |
|
|
Запишем формулу линзы применительно к линзам Л1 и Л2:
|
1 |
|
− |
1 |
= |
1 |
|
|
(1) |
|||
|
d1 |
f1 |
F1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
1 |
= |
1 |
. |
(2) |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
d2 |
|
|
|
f2 |
|
|
|
F2 |
|
||
Знак «минус» мы поставили в первой формуле, потому что первое изображение мнимое.
Поскольку речь идет о размерах предмета и изображения,
воспользуемся формулами |
|
|
|||
Г1 |
= Í1 и Г1 = |
f1 |
, |
||
|
|||||
|
h1 |
d1 |
|||
следовательно, |
H1 = |
f1 |
. |
(3) |
|
|
|||||
|
h1 d1 |
|
|
||
691
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Аналогично для второй линзы, для которой предметом станет первое изображение А1В1 высотой Н1, запишем:
Г2 |
= H2 |
и Г2 |
= |
f2 |
, |
||
|
|||||||
|
H1 |
|
|
|
|
d2 |
|
поэтому |
H2 |
= |
f2 |
. |
(4) |
||
|
|||||||
|
H1 |
|
d2 |
|
|
|
|
Теперь обратим внимание на то, что, как это следует из чертежа, расстояние d2 от первого изображения А1В1 до второй линзы Л2
d2 = f1 + l. |
(5) |
Итак, мы получили 5 уравнений с пятью неизвестными. Чтобы уменьшить их число, давайте сначала выразим из формулы (1) расстояние f1 от первого изображения до линзы Л1 и подставим его в равенства (3) и (5). Так мы приблизимся к определению высоты первого изображения Н1 и расстояния d2 от него до линзы Л2.
Из (1) |
1 |
= |
1 |
− |
1 |
, |
|
|
откуда |
f = |
d1F1 |
, |
||||||
f |
d |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
F − d |
|||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||
поэтому |
|
|
|
|
H1 |
= |
|
|
|
d1F1 |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
h1 |
|
(F1 − d1)d1 |
|
|
|
|||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
H = |
|
h1F1 |
|
, |
|
|
(6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
F − d |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
и, кроме того, |
|
|
|
|
d = |
|
d1F1 |
|
+ l. |
|
|
(7) |
||||||
|
|
|
|
|
F − d |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь найдем из формулы (2) расстояние f2 от линзы Л2 до второго изображения А2В2 и подставим его в формулу (4), где
находится искомая высота второго изображения Н2: |
|
||||||||||
Из (2) |
1 |
= |
1 |
− |
1 |
|
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f2 F2 |
d2 |
|
||||||||
откуда |
f = |
d2F2 |
. |
|
(8) |
||||||
|
|
||||||||||
|
2 |
|
d − F |
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||
Из (4) |
H = H |
f2 |
|
|
|||||||
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
1 d |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
692
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
или с учетом (8)
H2 = H1 |
d2F2 |
= H1 |
F2 |
. |
(d2 − F2 )d2 |
d2 − F2 |
|
Вот теперь нам осталось подставить сюда правые части равенств (6) и (7), в которых все величины нам известны:
.
Задача в общем виде решена. Выразим высоту h1 в сантиметрах: 20 мм = 2 см.
Произведем вычисления:
Н2 = |
|
|
|
|
|
см | 4,5 см. |
|
|
|
|
|
Ответ: Н2 | 4,5 см.
С16. Слева от собирающей линзы с фокусным расстоянием F находится равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с длиной катета l. Вершина прямого угла располагается в двойном фокусе линзы, а один из катетов лежит на ее главной оптической оси (рис. 404). Найти площадь изображения треугольника.
|
A |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
K |
|
|
m C |
F |
|
C1 |
B1 |
n |
l |
B |
O |
F |
2F |
|
2F |
|
|
|
l |
|
|
|
Рис. 404 |
b |
A1 |
|
|
|
|
|
|
Обозначим r катет С1В1 треугольника, являющегося изображением треугольника АВС.
Дано: Решение
F |
Построим изображение А1В1С1 треуголь- |
lника АВС в линзе. При этом учтем, что катет
АВ перпендикулярен главной оптической оси
S — ? |
линзы и его основание располагается в двой- |
|
693
Физика для старшеклассников и абитуриентов
ном фокусе. Значит, изображение А1В1 этого катета по другую сторону линзы тоже будет перпендикулярно ее главной оптической оси и точка В1 тоже попадет в двойной фокус линзы. Кроме того, длина катета АВ равна длине его изображения А1В1, поскольку если предмет находится в двойном фокусе и перпендикулярен главной оптической оси, то его изображение по размеру будет равно размеру предмета.
Чтобы построить изображение точки С, проведем произвольный луч, затем параллельную ему побочную ось и построим фокальную плоскость ab. Через точку пересечения побочной оси и фокальной плоскости К пойдет после преломления в линзе произвольный луч. Он пересечет главную оптическую ось в точке С1, которая и будет изображением точки С. Площадь треугольника А1В1С1 равна половине произведения его катетов:
S = rl , |
где |
r = C1B1. |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
По формуле линзы для точек С и С1 |
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
. |
l+2F |
+ 2F−r = F |
||||||
Отсюда найдем отрезок r: |
|
|
|
|
|||
F (2F−r)+ F (l+2F)= (l+2F)(2F−r), |
|||||||
|
2F2 − rF + F (l+2F)= 2F (l+2F)− r(l+2F), |
||
|
r(l+2F)− rF = 2F (l+2F)− F (l+2F)− 2F2 , |
||
|
rl + rF = F (l+2F)− 2F2, |
r(l+ F)= F (l+2F−2F), |
|
откуда |
r = |
lF |
. |
|
|||
|
|
l+ F |
|
Подставив правую часть этого выражения в первую формулу, мы решим задачу:
S =
Задача решена.
= l2F
Ответ: S 2(l+ F).
l2F .
2(l+ F)
694
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
С17. Освещенный шарик на пружине колеблется вдоль вертикали с частотой Q. После преломления в линзе его изображение проецируется на вертикальный экран, расположенный перпендикулярно главной оптической оси линзы. Максимальная скорость шарика vm, расстояние от шарика до экрана L = 1 м. Амплитуда колебаний изображения на экране A. Чему равно фокусное расстояние линзы F?
Обозначим А0 амплитуду колебаний шарика, d — расстояние от шарика до линзы, f — расстояние от линзы до изображения.
Дано: Решение
QДля определения фокусного расстояния вос-
vm |
пользуемся формулой линзы |
|
||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
1 + 1 = |
|
1 |
|
|
||||
A |
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
d |
f |
F |
|
|||||
F — ? |
откуда |
|
|
|
F = |
df |
|
. |
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d + f |
|
|||||
Тогда согласно формуле линейного увеличения |
|
|||||||||||||
|
Г = |
À |
|
|
и |
|
Г = |
f |
, |
|
||||
|
À0 |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
||
поэтому |
|
|
|
À |
= |
f |
, |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
À0 |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
||
причем |
|
|
|
d + f = L. |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||
Теперь выразим d и f через А, А0 и L. Правда, амплитуда А0 нам не известна, но мы ее найдем, зная скорость vm и частоту Q.
|
Из (3) |
|
|
f = L – d. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
С учетом этого |
|
À |
= |
L − d |
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
À0 |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ad = A0L – A0d, |
откуда |
d = |
A0L |
|
(4) |
||||||||
|
A + |
A0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и |
f = L − |
A0L |
= L |
A + A0 − A0 |
= L |
A |
|
. |
(5) |
|||||
A + A0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
A + A0 |
|
|
A + |
A0 |
|
||||
695
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Подставим (4) и (5) в (1):
F = |
|
|
A0LAL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
AA0L |
. (6) |
|||
(A + A0 )(A + |
A0 ) |
|
A0L |
|
|
|
+ |
|
|
AL |
|
(A + A0 )2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
A + A0 |
|
|
A + A0 |
|
|
|
||||||||||
Из теории колебаний известно, что |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
vm = ZA0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
где Z= 2SQ — циклическая (угловая) частота. |
|
||||||||||||||||||
С учетом этого |
|
vm = 2SQA0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
откуда |
|
|
A0 = |
vm |
. |
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2πν |
|
|
|
|
|
|
|||||
Нам осталось подставить (7) в (6): |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
F = |
|
vm AL |
|
|
|
|
= |
vm AL |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
vm |
2πνA + vm |
|
|||||||||||
|
|
2πν A + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2πν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: F = |
vm AL |
|
|
. |
|
2πνA + vm |
||
С18. Дифракционная решетка содержит N штрихов на длине l. На нее нормально к ее поверхности падают параллельные монохроматические лучи света с длиной волны O. Между решеткой и экраном находится тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием F. Найти расстояние x между симметричными максимумами первого порядка на экране, расположенном в фокальной плоскости mn параллельно плоскости линзы ab (рис. 405).
Дифракционная
решетка
a |
b |
Линза
ϕ
х х
2F 2
экран k=1 k=0 k=1
Рис. 405
696
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
Обозначим d период решетки, M — угол дифракции,
Дано:
N l
O
F k
х — ?
Решение
Запишем формулу максимума на дифракционной решетке:
dsin M = kO. |
(1) |
||
Период решетки |
|
||
d = |
l |
. |
(2) |
|
|||
|
N |
|
|
Теперь надо связать угол дифракции M с расстоянием х.
õ
Из чертежа следует, что половина этого расстояния 2 расположена против угла M и является катетом в прямоугольном
треугольнике, где другим катетом служит фокусное расстояние F — ведь экран расположен в фокальной плоскости линзы. Значит, мы можем записать:
tg ϕ = x . 2F
Но в формулу (1) входит не тангенс, а синус угла дифракции. Выразить синус через тангенс несложно, но этого делать не нужно — углы дифракции обычно столь малы, что их синус равен тангенсу и равен самому углу, выраженному в радианах. Поэтому мы смело можем записать вместо тангенса в последней формуле синус:
sin M = |
x |
. |
(3) |
|
|||
|
2F |
|
|
Осталось подставить равенства (2) и (3) в формулу (1) и из полученного выражения отыскать искомое расстояние х между симметричными максимумами. Проделаем эти действия:
l |
|
x |
= kλ. |
N |
|
||
|
2F |
||
Отсюда
x = 2FNλ . l
Ответ: x = 2FNλ . l
697
Физика для старшеклассников и абитуриентов
С19. Если скорость выбитого из металла фотоэлектрона увеличить в 3 раза, то во сколько раз надо увеличить запирающее напряжение на электродах?
Обозначим А работу запирающего электрического поля, отталкивающего фотоэлектроны от анода, Ek — кинетическую энергию летящих к аноду фотоэлектронов, е — модуль заряда электрона, me — его массу, U1 — запирающее напряжение на электродах до увеличения их скорости, U2 — запирающее напряжение на электродах после увеличения их скорости, v1 — скорость фотоэлектронов до ее увеличения, v2 — скорость фотоэлектронов после ее увеличения.
Дано:
v2 = 3 v1
U2 — ?
U1
Решение
Чтобы выбитые светом из катода электроны не долетели до анода, надо чтобы на аноде был минус и при этом работа запирающего электрического поля А, как минимум, равнялась (или превосходила) кинетическую энергию летящих к аноду фотоэлектронов:
А = Ek.
Как это следует из формулы работы электрического поля, где зарядом является электрон, А = eU.
А кинетическая энергия электрона Ek = m2ev2 .
Следовательно,
eU = mev2 .
2
До увеличения скорости электрона эта формула имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m v2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eU1 = |
|
e 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а после увеличения |
eU = |
|
e 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разделим эти равенства друг на друга: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
åU |
|
|
m |
2 |
2 |
|
|
|
U |
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
= |
|
e |
2 |
|
, |
откуда |
|
2 |
= |
2 |
= |
|
|
|
|
= 32 = 9. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2m v2 |
||||||||||||||||||||
|
eU |
|
|
|
|
|
U |
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
U2 |
|
= 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
698
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
С20. Катод освещается светом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с длиной волны O. К катоду и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аноду подсоединен плоский воз- |
K |
|
|
|
|
|
|
|
А |
душный конденсатор с площадью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обкладок S и расстоянием между |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ними d (рис. 406). При освещении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
катода возникший фототок через |
|
Рис. 406 |
|||||||
некоторое время прекратился, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и при этом на обкладках конденсатора появился заряд q. Определить красную границу фотоэффекта. Масса электрона me и модуль его заряда е известны.
Обозначим с скорость света в вакууме, h — постоянную Планка, Еk — кинетическую энергию электрона, Q — частоту световой волны, Авых — работу выхода электрона из катода, O0 — красную границу фотоэффекта, А — работу электрического поля между электродами, U — напряжение на обкладках конденсатора, С — емкость конденсатора, H0 — электрическую постоянную.
Дано: Решение
OСогласно уравнению Эйнштейна для фото-
Sэффекта энергия фотона hQ, упавшего на катод,
dрасходуется на совершение работы выхода элек-
qтрона из катода и на сообщение этому электрону
me |
кинетической энергии: |
|
||||
e |
|
hQ = Aвых + Ek. |
(1) |
|||
c |
|
|||||
Частота световой волны связана с ее длиной |
||||||
|
||||||
|
||||||
O0 — ? |
волны формулой |
|
|
|
|
|
|
ν = |
|
ñ |
, |
(2) |
|
|
|
|||||
|
|
|
λ |
|
||
где с — скорость света в вакууме.
Теперь выразим работу выхода электрона через красную границу фотоэффекта. Согласно формуле
Aвых = h |
c |
. |
(3) |
|
|||
|
λ0 |
|
|
Кинетическая энергия выбитых светом электронов должна быть равна работе электрического поля конденсатора:
Еk = A = eU, |
(4) |
699