int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Нам осталось подставить правую часть выражения (2) в формулу (1), и задача в общем виде будет решена:

q = C πd2 B .

4 t

Задача в общем виде решена. Выразим все величины в единицах СИ: 16 см = 0,16 м, 5 мкФ = 5 · 10–6 Ф, 4 мТл/с = 0,004 Тл/с.

Подставим числа и вычислим:

q = 5 · 10–6 Кл = 4 · 10–10 Кл = 0,4 нКл.

Ответ: q = 0,4 нКл.

С36. Проводящий круговой контур диаметром 20 см, в который включен источник тока с ЭДС 8 мВ, расположен в плоскости чертежа (рис. 254). За чертеж направлено однородное магнитное поле. Индукция магнитного поля начала равномерно уменьшаться со скоростью 10 мТл/с. На сколько процентов изменилась мощность тока в контуре?

Обозначим D диаметр контура, — ЭДС источника тока,

 — скорость изменения индукции магнитного поля, P —

относительное изменение мощности тока в контуре, 'Р — из-

менение мощности тока, Р1 — прежняя мощность тока, Р2 — новая мощность тока, i — ЭДС электромагнитной индукции, R — сопротивление контура, S — площадь контура.

вающее магнитное поле, поэтому будет направлено тоже за чертеж, т.е. в ту же сторону, что и внешнее магнитное поле индукцией В. Вследствие этого к ЭДС источника тока добавится ЭДС индукции, поэтому результирующая ЭДС в контуре будет равна их сумме. Вследствие этого мощность тока в контуре возрастет.

Изменение мощности тока 'Р будет равно разности между возросшей мощностью тока Р2 и прежней Р1. Относитель-

520

Раздел III. Электромагнетизм

ное изменение мощности тока, которое требуется найти, равно:

Ð = Ð2 − Ð1 = Ð2 − 1. Ð1 Ð1 Ð1

Согласно формуле мощности тока, где роль напряжения U играет ЭДС, мощности тока — прежняя и новая — равны:

Подставим правые части этих выражений вместо ЭДС в предыдущую формулу:

Не стоит здесь раскрывать квадрат суммы чисел, т.к., хоть единица и сократится, но окончательное выражение получится более сложным.

Теперь для определения модуля ЭДС индукции воспользуемся формулой

Подставив правую часть равенства (2) в выражение (1), мы решим задачу в общем виде:

.

Выразим все величины в единицах СИ:

20 см = 0,2 м, 8 мВ = 8 · 10–3 В, 10 мТл/с = 0,01 Тл/с. Произведем вычисления:

= 0,08 = 8%.

Ответ: Ð = 8%.

Ð1

521

Физика для старшеклассников и абитуриентов

С37. Соленоид с сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 200 мГн имеет площадь витка 20 см2. Соленоид помещен в магнитное поле, индукция которого равномерно увеличивается. Когда магнитная индукция увеличилась на 2 Тл, сила тока в соленоиде возросла на 40 мА. Какой заряд прошел при этом по соленоиду?

Обозначим R сопротивление соленоида, L — его индуктивность, S — площадь витка, 'B — увеличение магнитной индукции, 'I — увеличение силы тока, q — заряд, прошедший по соленоиду, 't — время прохождения заряда, i — ЭДС индукции, S — ЭДС самоиндукции.

Нам осталось подставить правую часть выражения (5) в формулу (1), и задача в общем виде будет решена:

q = L I− BS t = L I − BS . t R R

522

Раздел III. Электромагнетизм

Выразим все величины в единицах СИ: 200 мГн = 0,2 Гн, 20 см2 = 0,002 м2, 40 мА = 0,04 А.

Произведем вычисления:

Кл = 4 · 10–4 Кл = 0,4 мКл.

Ответ: q = 0,4 мКл.

С38. Четыре одинаковые проволоки длиной l каждая образуют контур в форме квадрата. Он помещен в однородное магнитное поле индукцией В, перпендикулярное плоскости треугольника. Сопротивление каждой проволоки R. Найти силу индукционного тока, который протечет по контуру за промежуток времени 't, если квадрат преобразовать в круг?

Обозначим Ii силу индукционного тока, i — ЭДС индукции, Rобщ — общее сопротивление четырех последовательных проволок, Ф1 и Ф2 — начальный и конечный магнитные потоки сквозь контур, ограниченный проволоками.

Магнитный поток, пересекающий квадратный контур, Ф1 = ВS1 = Bl2, где S1 = l2 — площадь квадратного контура. Магнитный поток, пересекающий контур в форме окружности, Ф2 = ВS2, где S2 — площадь круга, у которого длина окружности равна 4l = 2SRокр, откуда радиус этой окружности

523

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Тогда магнитный поток сквозь контур в форме окружности

Обозначим l длину стержня, v0 — его начальную скорость, D— угол при основании наклонной плоскости, В — индукцию магнитного поля, S — пройденный путь, i — ЭДС индукции в стержне, v — скорость, которую приобретет стержень в конце пути, m — массу стержня, g — ускорение свободного падения, h — высоту наклонной плоскости, E— угол между направлением движения проводника и направлением вектора индукции

524

Раздел III. Электромагнетизм

поэтому

i = Bvlsin (900 – D) = Bvlcos D.

Скорость v, которую приобретет стержень в конце пути S, найдем из закона сохранения механической энергии, согласно которому потенциальная энергия стержня mgh на высоте

i = 0,2 · 0,4 2 10 0, 4sin 300 cos 300 В = 0,136 В.

Ответ: i = 0,136 В.

С40. Квадратная рамка площадью S изготовлена из прово-

магнитном поле на рамку действует внешняя

горизонтальная сила, преодолевающая тормозящее действие индукционных токов, наводимых в рамке. Чему равна работа А внешней силы за время движения рамки в магнитном поле? Магнитное поле имеет резко очерченные границы.

Обозначим F модуль силы, перемещающей рамку в магнитном поле, h — модуль перемещения рамки, FА —силу Ампера, Ii — силу индукционного тока, l — длину проводника, из которого изготовлена рамка, D— угол между вектором магнитной индукции и направлением тока в рамке, i — ЭДС индукции,

525

Физика для старшеклассников и абитуриентов

D1 — угол между направлением движения проводника рамки и направлением вектора индукции магнитного поля.

Дано: Решение

SИз механики мы знаем, что работа силы рав-

Rна произведению ее модуля на модуль переме-

vщения и на косинус угла между векторами силы

Bи перемещения. Но рамка перемещается гори-

модуля силы F, перемещающей рамку в магнитном поле, на модуль перемещения рамки, равный ширине магнитного поля h:

Обратим внимание на то, что индукционные токи наводятся в рамке только тогда, когда меняется магнитный поток сквозь рамку — согласно закону электромагнитной индукции. А меняется поток, когда рамка вводится в магнитное поле и выводится из него, т.е. когда меняется магнитная индукция поля, которое рамка пересекает, — сначала модуль вектора индукции В нарастает, когда рамку вводят, потом убывает, когда ее выводят.

Согласно условию рамка движется равномерно. А когда тело движется равномерно, силы, приложенные к нему, уравновешены — так утверждает первый закон Ньютона. Значит, на рамку действует еще сила, равная по модулю силе F, но направленная противоположно ей. Она действует на рамку, потому что в той наводятся индукционные токи, поскольку рамка движется в магнитном поле. Это сила Ампера FА. Значит, согласно первому закону Ньютона

Здесь Ii — сила индукционного тока, возникающего в рамке при пересечении ею магнитных линий. Ее можно найти по закону Ома, согласно которому сила тока равна отношению разности потенциалов или напряжения на концах проводника к его сопротивлению. В нашем случае эта разность потенциалов равна ЭДС индукции i, поэтому

526

Раздел III. Электромагнетизм

У нас рамка движется в магнитном поле поступательно, поэтому

i = Bvl sinD1.

Правда, здесь нужна длина проводника l. Она нам не известна, но зато мы знаем площадь рамки S. А она квадратная, значит, длина любой ее стороны

Обратим внимание, что D1 в формуле (5) — это угол между горизонтальным направлением движения проводника рамки ав и вертикальным направлением вектора индукции магнитного поля. Этот угол 900, и, значит, его синус равен единице. Поэтому формулу (5) перепишем так:

Теперь снова обратимся к формуле (2). Силу индукционного тока и длину стороны рамки мы уже выразили через известные величины. Остался угол D. Это угол между вертикальным вектором индукции магнитного поля и направлением тока в стороне рамки ав. Куда бы ни шел этот ток, к нам или от нас, его направление останется перпендикулярным направлению вектора индукции, поэтому угол D = 900 и его синус — единица. С учетом сказанного, а также формул (4) и (7), формула

(2) примет вид:

RR

Теперь подумаем, что такое модуль перемещения h. Это путь, пройденный, например, стороной рамки ав за время, пока магнитный поток сквозь рамку менялся, т.е. когда она вводилась в магнитное поле и выводилась из него. Когда рамка

527

Физика для старшеклассников и абитуриентов

входила в магнитное поле, ее сторона ав проходила путь, равный длине стороны вс, и когда выходила, проходила такой же путь. Поскольку рамка квадратная, этот путь

Нам осталось подставить (8) и (9) в формулу (1), и можно считать, что мы и с этой задачей справились. Подставляем:

Ответ: А = 2 Â2v S3 .

R

С41. По замкнутому контуру индуктивностью 2 мГн и сопротивлением 40 мОм проходит ток, сила которого сначала за 40 мс равномерно увеличивается от нуля до 8 А, а затем равномерно уменьшается за 80 мс до нуля. Найти изменение внутренней энергии контура. Ответ округлить с точностью до десятых долей миллиджоуля.

Обозначим L индуктивность контура, R — его сопротивление, t1 — время возрастания тока, t2 — время убывания тока, I — наибольшую силу тока, 'U — изменение внутренней энергии контура, 'U1 — изменение внутренней энергии контура при возрастании тока, 'U2 — изменение внутренней энергии контура при убывании тока, Q1 — количество теплоты, кото-

528

Раздел III. Электромагнетизм

Тогда все изменение внутренней энергии контура

Ответ: 'U = 0,24 Дж.

529