int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Теперь подставим правые части равенств (2) и (3) вместо времен t1 и t2 в выражение (1):

Произведем вычисления:

Ответ: Т = 2 с.

С8. Металлический стержень массой m = 100 г и длиной l = 1 м подвешен за середину к пружине с жесткостью k = 10 Н/м. Стержень совершает гармонические колебания с амплитудой A = 10 см в однородном магнитном поле индукцией B = 0,01 Тл, направленном перпендикулярно плоскости колебаний (рис. 377). Найти максимальную разность потенциалов

U , возникающую на концах стержня. Ответ округлить до

m

сотых долей вольта.

Обозначим D угол между вектором скорости стержня v и вектором индукции магнитного поля В, который на рис. 377 направлен от чертежа к наблюдателю, т. е. перпендикулярно вектору скорости v, i — ЭДС индукции, возникающую на концах проводника, U — максимальную разность потенциалов, возникающую на концах стержня.

индукцией В со скоростью v, определяется произведением индукции магнитного поля В, скорости проводника v, его

680

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

длины l и синуса угла Dмежду направлением магнитного поля и направлением движения проводника. В нашем случае проводник движется перпендикулярно линиям вектора, поэтому синус угла 90° равен единице и

U = i = Bvl sin D = Bvl.

Так как В и l — постоянные величины, то разность потенциалов U = i достигнет максимума, когда достигнет максимума скорость стержня:

U = Bvml.

Максимальная скорость стержня

v = ZA.

Циклическая частота стержня связана с его массой m и жесткостью пружины k, на которой он подвешен, соотноше-

нием Z = k . m

С учетом этого

U = BАl mk .

Произведем вычисления:

10

U = 0,01 · 0,1 · 1 0,1 В = 0,01 B.

Ответ: U = 0,01 B.

С9. Малый шарик массой m, подвешенный на длинной нити, совершает колебания. Во сколько раз изменится частота колебаний шарика, если ему сообщить положительный заряд q и поместить в однородное электрическое поле плоского конденсатора, обкладки которого расположены горизонтально (рис. 378)? Расстояние между обкладками d, на них подано напряжение U.

Обозначим Q1 частоту колебаний маятника до помещения его в электрическое поле, Q2 — частоту колебаний маятника в электрическом поле, g — ускорение свободного падения, l — длину нити, F — силу, действующую на заряженный шарик в электрическом поле, Е — напряженность электрического поля конденсатора.

681

Uприменить к его колебаниям законы коле-

Когда шарик зарядили и поместили в электрическое поле, на него помимо силы тяжести стала действовать еще электрическая сила, сонаправленная с силой тяжести (поскольку нижняя обкладка, заряженная разноименно с зарядом шарика, стала его к себе притягивать, а верхняя отталкивать). Поэтому шарик, кроме ускорения свободного падения , приобрел еще и дополнительное ускорение, сонаправленное с ускорением свободного падения. Это дополнительное ускорение a обусловлено силой, действующей на заряженный шарик в электрическом поле конденсатора. Тогда формулу Гюйгенса для частоты Q2 колебаний заряженного шарика в электрическом поле мы должны записать так:

По второму закону Ньютона ускорение a равно отношению силы F к массе шарика m:

à= F . m

Силу F, действующую на шарик со стороны поля плоского конденсатора, определим как произведение заряда шарика q и напряженности Е поля конденсатора:

F = qE.

Поскольку поле плоского конденсатора однородное, то его напряженность E связана с напряжением на обкладках U зависимостью

682

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

Е = U . d

Подставим (3) в (2):

массой m с зарядом q0 (рис. 400). С какой частотой станет

колебаться шарик, если его немного сместить влево на расстояние А? Сопротивлением пренебречь.

Обозначим k коэффициент пропорциональности, Q— частоту колебаний шарика, F1 — силу отталкивания, действующую на шарик со стороны заряда в точке 1, F2 — силу отталкивания, действующую на шарик со стороны заряда в точке 2, аm — максимальное ускорение колебаний шарика, Z — циклическую частоту колебаний.

rвесия (рис. 400), например, приблизив его к

mзаряду в точке 1 на расстояние А, то этот заряд

Ав точке 2, от которого шарик удалится, и возникнет равнодействующая сила. По второму

683

Физика для старшеклассников и абитуриентов

С11. Конденсатор емкостью C и две катушки с индуктивностями L1 и L2 образуют колебательный контур (рис. 380). Определить максимальную силу тока в этом контуре. Известно, что максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора равна U. Активным сопротивлением пренебречь.

Обозначим Wэл m максимальную энергию электрического поля конденсатора, Wм m — максимальную энергию магнитного поля катушек, Wм1 — максимальную энергию магнитного поля первой катушки, Wм2 — максимальную энергию магнитного поля второй катушки, Ф — магнитный поток, пересекающий катушки, I — максимальную силу тока в неразветвленной части контура, I1 — максимальную силу тока в первой катушке, I1 — максимальную силу тока во второй катушке.

684

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

Дано: Решение

СПрименим закон сохранения энергии, соглас-

Uсимальной энергии электрического поля конден-

сатора или максимальной энергии магнитного I — ? поля катушек. Соответственно равны друг другу максимальная энергия электрического поля конденсатора и максимальная энергия магнитного поля катушек:

Wэл m = Wм m.

Максимальная энергия магнитного поля обеих катушек равна сумме максимальных энергий каждой из них:

Wм m = Wм1 + Wм2,

Согласно формулам энергии электрического и магнитного полей

Теперь учтем, что обе катушки в процессе электромагнитных колебаний пересекает один и тот же магнитный поток Ф, который, как известно из теории, прямо пропорционален силе тока в катушке, а коэффициентом пропорциональности здесь служит индуктивность катушки L. Поэтому

Нам необходимо найти максимальную силу тока I в неразветвленной части контура, которая по первому правилу Кирхгофа равна сумме сил токов Im1 и Im2 в отдельных катушках:

685

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Теперь, пользуясь уравнениями (3) и (4), выразим неизвестные нам силы токов I1 и I2 через искомый ток I, чтобы потом, подставив их значения в уравнение (2), получить новое уравнение с одним неизвестным I, откуда мы его уже сумеем найти. Для этого найдем из выражения (3), например, I2 и подставим его значение в (4):

откуда

I = U C (L1 + L2 ) . L1L2

Ответ: I = U C (L1 + L2 ) .

L1L2

С12. В электрической цепи, изображенной на рис. 381, ЭДС источника 10 В, емкость конденсатора 4 мкФ, индуктивность катушки 3 мГн, сопротивление лампы 8 Ом, сопротивление резистора 6 Ом. Сначала ключ К замкнут. Какое количество теплоты выделится на лампе после размыкания ключа? Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

Обозначим ЭДС источника, С — емкость конденсатора, L — индуктивность катушки, R1 — сопротивление лампы, R2 — сопротивление резистора, r — внутреннее сопротивление

686

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

источника тока, I1 — силу тока в замкнутой цепи, I2 — силу тока в колебательном контуре, t — время затухания колебаний, Q1 — количество теплоты, выделившейся в лампе, Q2 — количество теплоты, выделившейся в резисторе, Wэл — энергия электрического поля конденсатора, Wм — энергия магнитного поля катушки, U — напряжение на конденсаторе.

где, поскольку ток через конденсатор при замкнутом ключе не идет и потому на лампе в этом случае падения напряжения нет, ЭДС источника равна напряжению на конденсаторе,

Энергию магнитного поля, возникшего в катушке при прохождении по ней тока I1, когда ключ К был заперт, определим по формуле

687

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Подставив правые части равенств (2) и (3) в формулу (1),

По закону Джоуля — Ленца количества теплоты Q1 и Q2, которые выделятся на лампе и резисторе при прохождении убывающего тока I2, равны:

Подставив правую часть выражения (5) в равенство (4), получим одно уравнение с одним неизвестным Q1:

Ответ: Q1 = 2,5 мДж.

С13. Найти наибольший показатель преломления вещества треугольной призмы, сечение которой представляет собой равносторонний треугольник, если проходящий сквозь нее луч преломляется в точках, равноотстоящих от вершины призмы (рис. 401).

Обозначим M преломляющий угол призмы, D — угол падения луча, J — угол преломления луча, n — показатель преломления вещества призмы.

688

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

лучей. Угол M при вершине равен 600, значит в треугольнике abc углы при вершинах а и c, а также при точках m и n тоже по 600, ведь этот треугольник равносторонний согласно условию задачи. Тогда угол преломления луча J = 900 – 600 = 300.

689