int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Физика для старшеклассников и абитуриентов

С2. Найти частоту малых колебаний тела массой m, изображенного на рис. 371. Жесткости пружин k1 и k2. Трением пренебречь.

Обозначим Wp1 потенциальную энергию упругой деформации первой пружины, Wp2 — потенциальную энергию упругой деформации второй пружины, А1 — амплитуду колебаний первой пружины, А2 — амплитуду колебаний второй пружины, А — их суммарную амплитуду колебаний, Wk — кинетическую энергию тела, vm — максимальную скорость тела, Z— его циклическую частоту, Q— частоту колебаний, Fупр1 — силу упругости в первой пружине, Fупр2 — силу упругости во второй пружине.

мы сообщаем пружинам, а вместе с ними и самому телу запас потенциальной энергии. Потенциальная энергия упругой деформации первой пружины

По закону сохранения механической энергии потенциальная энергия упругой деформации обеих пружин превратится в кинетическую энергию колеблющегося тела, когда оно будет «проскакивать» через положение равновесия:

670

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

Скорость vm мы можем определить через циклическую частоту колебаний тела Z с помощью формулы vm = Z A. В свою очередь циклическая частота колебаний Z связана с частотой колебаний Q соотношением Z = 2SQ, поэтому

Нетрудно догадаться, что амплитуда колебаний равна сумме амплитуд колебаний пружин, т. е. сумме их деформаций в момент, когда мы оттянули тело от положения равновесия. Тогда, подставив эту сумму A = A1 + A2 в (2), получим:

Мы могли бы решить это уравнение относительно искомой частоты, но нам не известны амплитуды колебаний пружин A1 и A2. Значит, надо записать еще какое-нибудь уравнение, куда вошли бы эти амплитуды. Здесь следует догадаться, что когда мы действуем на тело с некоторой силой, оттягивая его вниз, то по третьему закону Ньютона с точно такой же силой мы действуем и на каждую пружину, поэтому в них возникают одинаковые силы упругости, которые по закону Гука соответственно равны:

Fупр1 = – k1A1 и Fупр2 = – k2A2.

Поскольку силы упругости равны, а жесткости пружин разные, значит, и деформации пружин, т. е. амплитуды их колебаний, будут разными. Но так как сами силы упругости одинаковы, мы можем записать равенство

Если теперь подставить (5) вместо A2 в (4), то неизвестную нам амплитуду A1 можно будет вынести за скобки и сократить.

671

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Тогда мы получим одно уравнение с одной искомой частотой, которую сможем уже однозначно определить. Проделаем эти

m(2SQ)2 (k1 +2k2 )2 k2

С3. Найти период малых колебаний тела массой m, изображенного на рис. 372. Жесткости пружин k1 и k2. Трением пренебречь.

Обозначим Wp1 потенциальную энергию упругой деформации первой пружины, Wp2 — потенциальную энергию упругой деформации второй пружины, А — их амплитуду колебаний, Wk — кинетическую энергию тела, vm — максимальную скорость тела, Z — его циклическую частоту, Q — частоту коле-

баний, Fупр1 — силу упругости в первой пружине, Fупр2 — силу упругости во второй пружине.

Решение

Здесь мы тоже применим закон сохранения механической энергии, но теперь амплитуда колебаний A обеих пружин и самого тела будет одна и та же. Ведь на сколько мы растянем одну пружину, на столько же растянется вторая и на такое же расстояние сместится само тело. С уче-

том этого положения запишем закон сохранения механической энергии следующим образом:

672

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

С4. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой M, прикрепленный к пружине с жесткостью k (рис. 373). В шар попадает пуля массой m, имеющая в момент удара скорость v, направленную вдоль оси пружины. Считая удар пули абсолютно неупругим и пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить амплитуду колебаний шара с пулей.

Обозначим v0 максимальную скорость колебаний шара с пулей, Z — циклическую частоту колебаний, А — амплитуду колебаний.

Дано: Решение

МПоскольку удар неупругий, то шар с пулей

kсразу после удара станет двигаться со скоростью

mv0, которую мы сможем определить, воспользо-

vвавшись законом сохранения импульса системы пуля — шар. По закону сохранения импульса

A — ? импульс пули до попадания в шар mv равен суммарному импульсу пули с шаром (M + m)v0 после попадания (отметим, что импульс шара до попадания в

него пули равен 0, так как шар покоился):

mv = (M + m)v0.

Отсюда скорость шара с пулей сразу после удара (а это будет максимальная скорость колебаний шара с пулей)

Максимальная скорость колебаний тела v0 связана с циклической частотой и амплитудой этих колебаний соотношением

673

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Циклическая частота колебаний пружинного маятника c пулей

Подставляем (3) в (2):

Теперь подставим (4) в (1):

kmv

АM + m = M + m.

Отсюда

С5. По дну сферической емкости радиусом R без трения движется маленький кубик (рис. 374). Найти период его колебаний.

Обозначим Wkm максимальную кинетическую энергию кубика на дне емкости, m — массу кубика, vm — его максимальную скорость, Wpm— максимальную потенциальную энергию кубика на краю емкости, g — ускорение свободного падения, S — число «пи», T — период колебаний кубика, Z — циклическую частоту.

Дано: Решение

RПо закону сохранения механической энергии

gмаксимальная кинетическая энергия кубика на дне чаши равна его максимальной потенциальной

Максимальную скорость кубика найдем по формуле

674

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

vm = ωA,

где А — амплитуда колебаний кубика. Ее мы найдем по теореме Пифагора (см. рисунок):

А = R2 + R2 = 2R2 = R 2 .

С учетом этого максимальная скорость кубика на дне емкости

Максимальную потенциальную энергию кубика определим по формуле потенциальной энергии тела, поднятого на высоту R:

пружиной с жесткостью k (рис. 398).

Рис. 398

Пружина сжата, а шарики удерживаются связывающей их горизонтальной нитью. С какой часто-

той они начнут колебаться, если нить разрезать?

Обозначим l1 расстояние от левого шарика до центра масс С этой системы тел, l2 — расстояние от правого шарика до центра масс С, А1 — амплитуду колебаний левого шарика, А2 — амплитуду колебаний правого шарика, F — деформирующую силу, х — деформацию пружины, аm — максимальное ускорение в

675

Физика для старшеклассников и абитуриентов

момент разрезания нити, Z— циклическую частоту колебаний, Q — частоту колебаний.

kщались относительно положения равновесия, прижимаясь друг к другу. Но где-то было коль-

цо, которое осталось на месте, не сместилось. Это кольцо находится в центре масс всей системы шариков с пружиной. Причем этот центр масс расположен не

посередине пружины, ведь массы шариков разные. Нетрудно сообразить, что расстояния l1 и l2 от шариков до неподвижного колечка обратно пропорциональны массе шариков m1 и m2, т.е. выполняется соотношение

m1 = l2 . m2 l1

Это были расстояния, когда пружина еще была не сжата. Когда ее сжали слева на расстояние, равное будущей амплитуде колебаний А1, а справа — на расстояние А2, то расстояния от шариков до неподвижного колечка стали равны l1 – A1 и l2 – A2. И предыдущее соотношение теперь примет вид:

Как бы нам от этих l1 и l2 уйти? Попробуем для начала уйти от дробей по правилу пропорции. У нас в двух уравнениях должны появиться одинаковые произведения масс на длины — может, потом нам удастся их как-нибудь убрать.

m1l1 = m2l2 и m1l1 – m1A1 = m2l2 – m2A2.

Если мы теперь во втором уравнении заменим произведение m2l2 на равное ему m1l1 , то вследствие приведения подобных членов эти произведения уйдут и у нас останутся только равные друг другу произведения масс на амплитуды:

m1l1 – m1A1 = m1l1 – m2A2, откуда m1A1 = m2A2. (1)

Теперь применим закон Гука, ведь не зря же нам дали жесткость этой пружины. Согласно этому закону, а также третьему закону Ньютона, сила F, сжимающая пружину, равна произве-

676

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

дению ее жесткости k и деформации x. А деформация, очевидно, равна сумме амплитуд А1 + А2. Тогда согласно сказанному

F = kx = k(A1 + A2).

По второму закону Ньютона эта же сила равна произведению массы одного из шариков, например, m1, на его максимальное ускорение в момент разрезания нити аm1:

F = m1am.

Приравняем правые части последних равенств:

Максимальное ускорение связано с циклической частотой Z, которая, одинакова у обоих шариков, соотношением

аm = Z2A1

где

Z = 2SQ,

поэтому

С учетом равенства (3) уравнение (2) примет вид:

Теперь вернемся к равенству (1). Если из него выразить какую-нибудь амплитуду, например, А2, и подставить правую часть полученного равенства вместо А2 в формулу (4), то по вынесении за скобки оставшаяся амплитуда А1 сократится, и мы найдем частоту, выраженную через жесткость и массы шариков. Приступим. Из (1)

677

Значит, задача сводится к нахождению времени спуска t1 шарика с вершины 1 до основания наклонной плоскости и времени его подъема t2 от основания до вершины 2.

678

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

В прямоугольном треугольнике с катетом h и противолежащим ему углом D гипотенуза есть путь S1, пройденный шариком при спуске с вершины 1. Этот путь найдем по формуле

S1 = sinh α .

На этом пути на шарик действует скатывающая его сила mg sinD, являющаяся составляющей силы тяжести mg и равная по второму закону Ньютона произведению массы шарика m и его ускорения а1:

mg sinD = ma1, откуда а1 = g sinD.

Зная ускорение шарика и путь, пройденный им с вершины 1 до основания, мы найдем время этого спуска из формулы кинематики, когда начальная скорость равна нулю:

= a t2

S1 121 ,

откуда

Конечная скорость шарика у основания при спуске с вершины 1 является его начальной скоростью при подъеме до вершины 2. Эту скорость v1 несложно найти по формуле кинематики для случая равнозамедленного движения с ускорением а2 к вершине 2, когда конечная скорость шарика равна нулю:

0 = v1 – a2t2, где по аналогии а2 = g sinE,

поэтому

v1 = gt2 sinE.

И эта же скорость при равноускоренном спуске без начальной скорости с вершины 1 равна:

v1 = а1t1 = gt1 sinD.

Приравняв правые части двух последних равенств, выразим время t2 через уже найденное время t1:

gt2 sinE = gt1 sinD, откуда t2 = t1 sinsinαβ , или с учетом выражения (2)

679