int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012
.pdf
Физика для старшеклассников и абитуриентов
линзы, f — расстояние от линзы до изображения, Г — линейное увеличение линзы, F — фокусное расстояние линзы.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Н = 4 см |
|
Согласно определению оптической силы |
|||||
d = 50 см |
|
линзы |
1 |
|
|
|
|
h = 80 см |
|
D = |
, |
|
|
|
|
|
|
F |
1 |
= 1 + 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
D — ? |
|
где по формуле линзы |
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
F d f |
|
|
поэтому |
|
D = 1 + 1. |
|
|
|
|
(1) |
|
|
d f |
|
|
|
|
|
Расстояние от линзы до изображения можно найти, воспользовавшись формулами линейного увеличения линзы:
Г = Í |
и Г = |
f |
, и значит, |
H = |
f |
, |
h |
|
d |
h d |
|||
откуда |
f = d H . |
(2) |
||||
|
|
|
h |
|
|
|
Подставив правую часть равенства (2) в формулу (1) вместо f, мы решим задачу в общем виде:
.
Произведем вычисления:
дптр = 42 дптр.
Ответ: D = 42 дптр.
В19. При освещении дифракционной решетки белым светом спектры второго и третьего порядков частично перекрывают друг друга. На линию какого цвета в спектре второго порядка накладывается синяя линия с длиной волны 0,45 мкм спектра третьего порядка?
Обозначим k1 и k2 порядок спектров, накладывающихся друг на друга на экране, O2 — длину световой волны, соответствующей спектру третьего порядка, O1 — длину световой волны, соответствующей спектру второго порядка.
660
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
Решение
Проанализируем условие задачи.
При падении на решетку белого света центральный максимум,образуемыйлучами с углом дифракции M = 0, остается белым, так как из условия максимума на дифракционной решетке d sin M= kOвидно, что при
M = 0 разность хода лучей разного цвета равна нулю, т. е. при образовании центрального максимума лучи всех цветов накладываются друг на друга.
В случае же образования бокового максимума разности хода лучей разного цвета и, соответственно, углы дифракции для лучей разных длин волн различны. Поэтому на экране лучи разного цвета, образующие данный боковой максимум, собираются линзой в разных точках, причем фиолетовая полоса оказывается самой близкой к центру, а красная — наиболее удаленной (напомним, что длина волны фиолетового света наименьшая из всех волн видимого спектра, а красного — наибольшая).
Спектры разных порядков будут частично накладываться друг на друга, если в них есть линии, которым соответствует одинаковый угол дифракции.
Запишем условие образования линии, соответствующей световой волне с длиной волны O1 в спектре порядка k1:
d sin M1 = k1O1.
Аналогичный вид имеет условие образования линии, соответствующей световой волне с длиной волны O2 в спектре порядка k2:
d sin M2 = k2O2.
Если M1 = M2, то эти линии будут накладываться друг на друга. При этом
k1O1 = k2O2, откуда O1 = λ2 |
k2 |
. |
|
||
|
k |
|
|
1 |
|
Произведем вычисления:
3
O1 = 0,45 · 10–6 2 м = 6,75 · 10–7 м — красная линия спектра. Ответ: O1 = 6,75 · 10–7 м — на красную линию спектра.
661
Физика для старшеклассников и абитуриентов
В20. Определить абсолютный показатель преломления среды, в которой свет с энергией кванта EJ имеет длину волны O.
Обозначим n показатель преломления среды, с — скорость света в вакууме, v — скорость света в среде, O — длину волны в среде, Q — частоту колебаний, EJ — энергию кванта в среде, h — постоянную Планка.
Дано: |
Решение |
HJ |
Показатель преломления среды n связан со |
Oскоростью распространения света в этой среде
сv соотношением
h |
n = |
c |
. |
|
|
|
|||
n — ? |
|
v |
||
В свою очередь скорость света в прозрачной |
||||
|
||||
|
среде v связана с длиной волны в этой среде O и |
|||
частотой колебаний в волне Q соотношением |
||||
O = |
v |
, откуда |
v = Q · O. |
|||
ν |
||||||
|
|
|
|
|
||
С учетом этого |
|
|
|
|
||
|
|
n = |
ñ |
. |
(1) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
νλ |
|
||
Частоту колебаний в световой волне найдем из формулы Планка, поскольку энергия кванта EJ нам известна:
EJ = hQ, |
откуда Q = |
Eγ |
. |
(2) |
||
|
||||||
|
|
ñh |
|
h |
|
|
Подставим (2) в (1): |
n = |
. |
|
|||
|
|
|||||
γ
Задача решена.
Ответ: n = ñh .
γ
В21. Источник света в течение 4 с испускает 8 · 1010 фотонов с длиной волны 0,5 мкм. Какова мощность излучения?
Обозначим t время испускания числа N фотонов, O— длину волны, Р — мощность излучения, W — энергию испускаемого света EJ — энергию одного фотона, h — постоянную Планка, с — скорость света в вакууме.
662
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
Дано: |
|
Решение |
|
|||||||
|
|
|||||||||
t = 4 с |
|
Энергия испускаемого света равна |
||||||||
N = 8 · 1010 |
|
произведению его мощности Р и вре- |
||||||||
O = 0,5 мкм |
|
мени свечения t: |
W = Рt. |
|||||||
h = 6,62 · 10–34 Дж · с |
Эту энергию можно представить |
|||||||||
с = 3 · 108 м/с |
как произведение числа фотонов N на |
|||||||||
|
|
|
|
энергию одного фотона EJ: |
||||||
P — ? |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
W = NEJ. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
Рt = NEJ . |
|
||||||||
Энергия фотона связана с его длиной световой волны фор- |
||||||||||
мулой Планка: |
|
ñ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
EJ = h |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
λ |
|
||||
С учетом этого |
Рt = Nh |
|
ñ |
, |
|
|
||||
|
|
|||||||||
откуда |
|
|
|
λ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р = |
Nhc |
= |
8 1010 6,62 10−34 3 108 |
Вт | 8 · 10–9 Вт = 8 нВт. |
||||||
|
|
|
||||||||
|
λt |
0,5 10−6 4 |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: Р | 8 нВт.
В22. Две частицы в некоторый момент времени находятся на расстоянии 1,5 км друг от друга и движутся навстречу друг другу со скоростями v1 = 0,4c и v2 = 0,6c. Через какое время t они столкнутся? Ответ округлить до целых микросекунд.
Обозначим S расстояние между частицами, v1 — скорость первой частицы, v2 — скорость второй частицы, с — скорость света в вакууме, t — время сближения частиц, v — скорость, с которой одна из частиц приближается к другой.
Дано:
S = 1,5 км
v1 = 0,4 c v2 = 0,6 c
с = 3 · 108 м/с
t — ?
v =
Решение
Время сближения частиц определим из уравнения равномерного движения
|
|
|
|
|
|
|
t = |
S |
, |
|
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
где |
|
|
|
v |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
0, 4ñ + 0,6ñ |
|
|
|
= 0,8 с. |
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 + |
v1 v2 |
|
|
1 + |
0, 4ñ 0,6ñ |
|
|
|
|
||||
ñ2 |
|
|
ñ2 |
|
|
|
|
|
|
||||
663
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Подставив (2) в (1), мы решим задачу в общем виде:
S t = 0,8ñ
Произведем вычисления:
t = |
1500 |
с = 6,25 · 10–6 |
с = 6,25 мкс. |
||
|
|
||||
0,8 |
3 108 |
||||
|
|
|
|||
Ответ: t = 6,25 мкс.
В23. Масса движущегося электрона превышает его массу покоя в k раз. С какой скоростью движется электрон?
Обозначим m — массу движущегося электрона, m0 — его массу покоя, с — скорость света в вакууме, v — скорость электрона.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m = km0 |
|
Запишем формулу зависимости массы |
||||
с = 3 10 8 м/с |
|
электрона от его скорости: |
||||
|
|
m = |
m0 |
|
|
. |
v — ? |
|
|
|
|||
|
1 − |
v2 |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
c2 |
|||
|
|
|
|
|||
Отсюда определим скорость электрона:
|
1 − |
v2 |
= |
m |
, |
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
||||||
c2 |
m |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v |
|
2 |
|
|
m0 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
= |
1 − |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||
ñ |
|
|
|
|
m |
|
|
|||
откуда
|
v 2 |
||
1 |
− |
|
|
|
|||
|
c |
||
v = c
2
= m0 ,m
2
1 − m0 ,m
|
|
|
m0 |
2 |
= с 1 − |
1 |
|
c |
2 |
|
||
v = с |
1 − |
|
|
|
= |
|
k |
|
− 1. |
|||
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
m |
|
|
k |
|
k |
|
|
||
Ответ: v = |
c |
|
k2 − 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В24. Найти удельную энергию связи ядра кислорода 168 О в МэВ. Масса ядра кислорода 15,99052 а.е.м., масса протона 1,00783 а.е.м., масса нейтрона 1,00866 а.е.м.
Обозначим Мядра массу ядра кислорода, A — массовое число, Z — зарядовое число, N — число нейтронов в ядре, Есв — энер-
664
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
гию связи ядра, Hсв — удельную энергию связи, mp — массу протона, mn — массу нейтрона.
Дано:
Мядра = 15,99052 а.е.м А = 16
Z = 8
mp = 1,00783 а.е.м. mn = 1,00866 а.е.м.
Hсв — ?
Решение
Напомним, что удельной энергией связи называют энергию связи, приходящуюся на один нуклон. Поэтому удельная энергия Hсв связи ядра может быть определена отношением всей энергии связи Есв ядра к массовому числу:
Hсв = |
Åñâ |
. |
|
À |
|||
|
|
Энергию связи ядра Есв можно определить по формуле
Eсв = 931(Zmp + Nmn – Mядра) МэВ,
где
N = A – Z.
С учетом этого
Eсв = 931(Zmp + (A – Z)mn – Mядра) МэВ.
Подставив это выражение в первую формулу, получим:
Hсв = 931(Zmp + (A − Z)mn − Mÿäðà ).
À
Произведем вычисления:
Hсв= 931(8 1,00783 + (16 − 8) 1,00866 − 15,99052)МэВ/нуклон=
À
= 8,2 МэВ/нуклон.
Ответ: Hсв = 8,2 МэВ/нуклон.
В25. Период полураспада радия 1600 лет. Определить, через сколько времени число оставшихся атомов уменьшится в 4 раза.
Обозначим Т период полураспада, N0 — число ядер радия в начальный момент времени, N — число ядер, оставшихся через время t.
665
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Дано:
Т = 1600 лет
No = 4
N
S — ?
следовательно,
Решение
Запишем закон радиоактивного распада:
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Отсюда |
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
N0 |
= = |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
t |
= 2 , откуда |
t = 2T. |
||||||
|
||||||||
T |
|
|
|
|||||
Произведем вычисления:
t = 2 1600 лет = 3200 лет.
Ответ: t = 3200 лет.
В26. В процессе термоядерного синтеза ядра гелия выделяется энергия 4,2 пДж. Молярная масса гелия 4 · 10–3 кг/моль. Какая масса гелия образуется каждые 10 с на Солнце, если мощность солнечного излучения 4 · 1020 МВт?
Обозначим Е1 энергию, которая выделяется в процессе термоядерного синтеза ядра гелия, М — молярную массу гелия, t — время выделения энергии, Р — мощность излучения, m — массу гелия, N — число образующихся ядер гелия, m0 — массу одного ядра, NА — число Авогадро.
Дано: |
|
Решение |
|
||
|
|
||||
Е1 = 4,2 пДж |
|
Массу гелия, образующуюся на |
|||
М = 4 · 10–3 кг/моль |
|
Солнце за 10 с, можно найти, умножив |
|||
t = 10 с |
|
число образующихся за это время ядер |
|||
Р = 4 · 1020 МВт |
|
гелия N на массу одного ядра m0: |
|
||
|
|
|
|
m = Nm0. |
(1) |
m — ? |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Масса одного ядра гелия |
|
||||
|
|
|
M |
. |
(2) |
|
|
m0 = NA |
|
||
Число ядер гелия N можно найти, если разделить всю энергию Е, выделяющуюся за 10 с, на энергию, выделяющуюся при синтезе одного ядра гелия Е1:
N = Å ,
Å1
666
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
где вся выделяющаяся энергия равна произведению мощности процесса и его времени:
|
Е = А = Рt. |
|
С учетом этого |
N = Pt . |
(3) |
|
E1 |
|
Нам осталось подставить правые части равенств (2) и (3) в формулу (1), и задача в общем виде будет решена:
m = PtM .
|
E1NA |
|
||
Произведем вычисления: |
|
|
||
m = |
4 1020 10 4 10−3 |
кг = 6,3 · 106 |
кг. |
|
4,2 10−12 6,02 1023 |
||||
|
|
|
||
Ответ: m = 6,3 · 106 кг.
В27. Покоившийся мезон с массой 2,5 · 10–28 кг распался на два гамма-кванта. Найти длину волны каждого из них.
Обозначим m0 массу покоя мезона, h — постоянную Планка, c — скорость света в вакууме, Q— частоту световой волны, O — длину волны, Е0 — энергию покоя мезона, EJ — энергию гамма-кванта.
Дано: |
|
|
Решение |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||
m0 = 2,5 · 10–28 кг |
|
|
|
|
По закону сохранения энергии |
||||||
с = 3 · 108 м/с |
|
|
энергия покоя мезона равна энергии |
||||||||
h = 6,62 · 10–34 Дж · с |
|
|
двух гамма-квантов: Е0 = 2EJ, где |
||||||||
|
|
|
Е0 = m0с2 и по формуле Планка |
||||||||
O — ? |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ = hQ. |
||
С учетом этих равенств |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
m0с2 = 2hQ, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ν = |
m c2 |
|
|
|||
откуда |
|
|
0 |
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
||
Выразим длину волны через частоту: |
|||||||||||
O = |
ñ |
|
c 2h |
2h |
|||||||
|
|
= |
|
= |
|
. |
|||||
|
ν |
m0c2 |
m0c |
||||||||
Произведем вычисления:
667
Физика для старшеклассников и абитуриентов
O = |
2 6,62 10−34 |
м | 1,8 · 10–14 м. |
|
2,5 10−28 3 108 |
|||
|
|
Ответ: O | 1,8 · 10–14 м.
В28. Покоящийся мезон с массой m0 распался на два гаммакванта. Найти импульс каждого из них.
Обозначим mJ массу гамма-кванта, с — скорость света в вакууме, рJ — импульс гамма-кванта.
Дано: |
Решение |
m0 |
По закону сохранения энергии энергия по- |
скоя мезона m0c2 равна суммарной энергии двух квантов 2mJc2:
n — ? |
m0c2 = 2 mJc2, |
откуда масса каждого кванта mJ = m20 ,
а его импульс рJ = mJc = m20 с = 0,5 m0c.
Ответ: рJ = 0,5 m0c.
Часть 3
С1. На краю стола укреплен не- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
FN |
||||||||||||||||
весомый блок, способный вращаться |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
без трения. Через блок перекинута |
F |
тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
H |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
невесомая нить, к одному концу ко- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
торой привязан брусок массой m1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
неподвижно лежащий на столе, а к |
g |
|
|||||||||||||||
другому концу прикреплен пружин- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ный маятник массой m2. Коэффици- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ент трения между основанием бруска |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и столом μ. Амплитуда колебаний |
Рис. 397 |
|
FH |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
маятника А. Чему равен период его |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
колебаний? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обозначим g ускорение свободного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2g |
|||||||||||
падения, FN — силу реакции опоры,
FН — силу натяжения нити, Fтр — силу трения, аm — максимальное ускорение маятника, Z — его циклическую частоту, Т — период колебаний.
668
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
||
m1 |
|
Покажем на чертеже силы, приложенные к |
||
m2 |
|
бруску (рис. 397). |
|
G |
μ |
|
|
|
|
|
На него действуютG4 силы: сила тяжести m1gG, |
|||
A |
|
|||
|
силареакцииопоры F ,силанатяжениянити FН |
|||
|
|
|
N |
|
T — ? |
|
и сила трения Fòð. Брусок покоится, значит, эти |
||
|
силы уравновешены, т.е. мы можем записать: |
|||
|
|
|||
|
|
m1g = FN и FН = Fтр . |
(1) |
|
Выразим сразу силу трения через известный коэффициент |
||||
трения: |
|
|
|
|
|
|
Fтр = μFN = μm1g. |
(2) |
|
На пружинный маятник в процессе колебаний действует |
|
|
|
сила тяжести m g, направленная вниз, и сила натяжения |
|
G |
2 |
нити FН. В нижнем положении маятника сила натяжения направлена вверх и по модулю больше силы тяжести. Равнодействующая этих сил
|
m2am = FН – m2g |
|
|||||||
или с учетом (1) и (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2am = μm1g – m2g = g(μm1 – m2), |
|
||||||||
откуда |
à = g |
μm1 −m2 |
. (3) |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
m |
|
m2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
Теперь свяжем максимальное ускорение с искомой цикли- |
|||||||||
ческой частотой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аm = Z2A, |
откуда ω = |
am |
, где |
Z = 2π . |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
A |
|
Ò |
|||
Таким образом, |
|
2π |
|
am |
|
|
|||
|
= |
|
|
|
|
, |
|
||
|
|
A |
|
||||||
|
|
Ò |
|
|
|
||||
откуда
Т = 2S
À
àm
Ответ: Т = 2S
или с учетом (3) Т = 2S |
m2À |
||
|
. |
||
g(μm1 −m2 ) |
|||
m2À |
|
|
|
|
. |
|
|
g(μm1 −m2 ) |
|
|
|
669