int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012
.pdf
Физика для старшеклассников и абитуриентов
откуда |
Z2 = |
2W |
. |
(3) |
|
||||
|
|
mA2 |
|
|
Подставим (2) и (3) в (1):
х= FmA2 = FA2 . 2mW 2W
Произведем вычисления:
х = |
2,25 10−3 |
(0,02)2 |
м = 0,015 м = 1,5 см. |
|||
2 |
3 |
10−5 |
||||
|
|
|||||
Ответ: х = 1,5 см.
В8. Маятник совершает гармонические колебания около положения равновесия с циклической частотой 5 рад/с. В какой момент времени, считая от начала колебания, смещение маятника составит 3,2 см, а скорость станет равна 0,16 м/с?
Обозначим А амплитуду колебаний, х — смещение маятника, vm — максимальную скорость маятника, v — мгновенную скорость, Z— его циклическую частоту, t — время колебаний.
Дано: |
|
Решение |
|
||
Z = 5 рад/с |
|
Смещение маятника определяет уравне- |
х = 3,2 см |
|
ние х = А cos Zt, а его мгновенную скорость |
v = 0,16 м/с |
|
v = vm sin Zt, где vm = ZА, поэтому |
|
|
v = ZА sin Zt. |
t — ? |
|
|
|
Теперь найдем отношение |
|
|
|
|
|
|
v |
= |
|
À sin |
|
t |
= Z tg Zt, |
||||||
|
|
õ |
A cos ωt |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
откуда |
|
tg Zt = |
|
v |
|
= |
|
|
0,16 |
|
= 1. |
||||
|
|
õω |
|
0,032 5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||
Zt = |
π |
|
и |
|
|
t = |
|
|
= 3,14 |
с = 0,157 с. |
|||||
4 |
|
|
|
|
4ω |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 5 |
|
|||||
Ответ: t = 0,157 с.
В9. Две точки, лежащие на одном луче, колеблются в противофазе. Расстояние от одной из них до источника колебаний 1 м, а от него до другой точки 1,1 м. Скорость волны 2,5 м/с. Найти период колебаний частиц в волне.
650
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
Обозначим D1 фазу колебаний точки 1, D2 — фазу колебаний точки 2, 'D— разность фаз колебаний точек, S1 — расстояние от источника волн до точки 1, S2 — расстояние от источника волн до точки 2, v — скорость волны, T — период колебаний частиц в волне, Z— их циклическую частоту, t1 — время прохождения волной расстояния S1, t2 — время прохождения волной расстояния S2.
Дано:
'D = S рад
S1 = 1 м
S2 = 1,1 м v = 2,5 м/с
T — ?
и
Решение
Разность фаз
'D = D2 – D1, |
где D1 = Zt1 и D2 = Zt2 . |
Тогда |
'D = Z t2 – Z t1 = Z (t2 – t1), |
где |
Z = 2π |
|
Ò |
t2 – t1 = |
S2 − S1 |
. |
|
||
|
v |
|
С учетом этих равенств |
|
|
|
|
|
|
|||
'D = 2π · |
S2 − S1 |
, |
|
откуда Т = |
2π |
· |
S2 − S1 |
. |
|
|
|
Δα |
|
||||||
Ò |
v |
|
|
|
|
v |
|||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
||||
|
Т = 2π |
· |
1,1 − 1 |
с = 0,08 с. |
|
|
|
||
|
π |
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: Т = 0,08 с.
В10. В идеальном колебательном контуре с конденсатором емкостью С1 и катушкой с индуктивностью L максимальная сила тока в катушке I0. Между обкладками конденсатора имеется диэлектрик. Какую работу надо совершить, чтобы очень быстро вынуть диэлектрик из конденсатора в тот момент, когда сила тока в катушке равна нулю? Емкость конденсатора без диэлектрика С2.
Обозначим W2 максимальную энергию конденсатора с диэлектриком, W2 – максимальную энергию конденсатора без диэлектрика, W — максимальную энергию магнитного поля катушки, А — работу, совершенную при выемке диэлектрика из конденсатора, q0 — максимальный заряд конденсатора, С2 — емкость конденсатора без диэлектрика.
651
|
Физика для старшеклассников и абитуриентов |
|
|
Дано: |
Решение |
С1 |
Работа по выемке диэлектрика из конденсато- |
Lра равна разности максимальных энергий элек-
I0 |
трическогополяконденсаторапослеидовыемки: |
|
С2 |
А = W2 – W1. |
(1) |
A — ?
Энергию поля конденсатора найдем по формулам
|
q 2 |
|
q |
2 |
|
W1 = |
0 |
и W2 = |
0 |
|
, |
2C1 |
|
|
|||
|
|
2C2 |
|||
ведь заряд при выемке диэлектрика сохранялся.
Заряд конденсатора q0 найдем из закона сохранения энергии, согласно которому максимальная энергия конденсатора до выемки диэлектрика равнялась максимальной энергии магнитного поля катушки, в которую превратилась в процессе колебания максимальная энергия конденсатора:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LI2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
2 |
|
LI2 |
|
|
W1 = W, |
|
|
|
где |
|
W = |
0 |
, |
|
поэтому |
|
0 |
|
= |
0 |
, |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C1 |
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q02 = C1LI02 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
С учетом этого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
LI2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C LI2 |
|
|
|
|
|||||
W |
1 |
= |
|
|
0 |
(2) |
|
|
и |
|
W |
2 |
= |
|
1 0 |
. |
|
|
(3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим равенства (2) и (3) в выражение (1): |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C LI2 |
|
LI |
2 |
|
|
LI2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
А = |
|
|
1 |
|
0 |
– |
|
0 |
|
= |
0 |
|
1 |
− 1 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
2C2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
LI2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: А = |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
− 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В11. Первичная обмотка трансформатора содержит 12 000 витков, напряжение на ней 120 В. Сколько витков имеет вторичная обмотка, если ее сопротивление 0,5 Ом, сила тока во вторичной обмотке 1 А, а напряжение на потребителе 3,5 В?
Обозначим N1 число витков в первичной обмотке трансформатора, N2 — число витков во вторичной обмотке, U1 — напряжение на первичной обмотке, U2 — напряжение на вторичной обмотке, Uпотр — напряжение на потребителе, 'U — потери напряжения на сопротивлении вторичной обмотки, I2 — силу тока во вторичной обмотке, R — сопротивление вторичной обмотки.
652
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
Дано:
N1 = 12 000
U 2 = 120 В R = 0,5 Ом
I2 = 1 А 'U = 3,5 В
N2 — ?
Решение
Напряжение на обмотках трансформатора прямо пропорционально числу витков в них:
|
|
U1 |
= |
N1 |
, |
|
|
||
|
U2 |
N2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
U2 |
|
|
|||
откуда |
N2 = N1 |
|
|
|
. |
(1) |
|||
U |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Напряжение на вторичной обмотке U2 частично падает на потребителя, а частично теряется из-за сопротивления проводов обмотки. Эти потери согласно закону Ома 'U = I2R.
Поэтому U2 = Uпотр + 'U = Uпотр + I2R. (2)
Подставим правую часть равенства (2) в выражение (1):
N2 |
= N1 |
Uïîòð |
+ I2R |
= 12000 |
3,5 |
+ 1 0,5 |
= 400. |
U1 |
|
120 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
Ответ: N2 = 400.
В12. В цепи переменного тока стандартной частоты 50 Гц сила тока изменяется по закону i = 2 sin Zt. Какое количество теплоты выделится в цепи за один период, если цепь изготовлена из медной проволоки длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 мм2? Удельное сопротивление меди 1,7 · 10–8 Ом · м.
Обозначим Q частоту колебаний, i — мгновенную силу тока, Im — максимальную силу тока, I — действующую силу переменного тока, Z— циклическую частоту, t — время колебаний, l — длину проволоки, T — период, R — сопротивление проволоки, U — удельное сопротивление меди, S — площадь поперечного сечения проволоки, Q — количество теплоты, которое выделится в цепи за один период.
Дано:
Q = 50 Гц i = 2 sin Zt l = 1 м
S = 1 мм2
U = 1,7 · 10–8 Ом · м
Q — ?
Решение
По закону Джоуля — Ленца
Q = I2RT, |
(1) |
где I — действующая сила переменного тока:
I = |
Im |
. |
(2) |
|
2 |
||||
|
|
|
653
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Из уравнения колебаний тока, данного в условии задачи, следует, что Im = 2 A.
Активное сопротивление цепи R найдем по формуле
R = U |
l |
. |
(3) |
|
|||
|
S |
|
|
Период T найдем, зная частоту Q: |
|
||
T = 1 . |
(4) |
||
|
ν |
|
|
Подставив (2), (3) и (4) в (1), мы решим задачу в общем виде:
|
|
|
|
Q = |
Im |
|
2 ρ |
l |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Sν |
|||||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
|
−8 |
1 |
|
|
|
–4 |
||||
Q = |
|
|
1,7 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
Дж | 6,7 · 10 Дж. |
||
2 |
1 10 |
−6 |
50 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: Q | 6,7 · 10–4 Дж.
В13. Уравнение колебаний напряжения в колебательном контуре и = 8 cos 2S· 104 t. В какой момент времени, считая от начала колебаний, энергия электрического поля конденсатора станет максимальной?
Обозначим Z циклическую частоту колебаний, Т — период, u — мгновенное напряжение на обкладках конденсатора, t — время колебаний, t1 — промежуток времени, через который энергия электрического поля конденсатора станет максимальной.
Решение
В момент начала наблюдения, судя по данному уравнению, при t = 0 t1 — ? напряжение на обкладках конденсатора было максимальным и, значит,
энергия электрического поля тоже была максимальной. Через четверть периода она станет равна нулю, а достигнет максимума энергия магнитного поля катушки индуктивности. Еще через четверть периода энергия электрического поля снова станет максимальной. Таким образом, энергия электрическо-
Ò
го поля достигнет максимума через половину периода: t1 = 2 .
654
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
Период найдем через циклическую частоту, которая, согласно данному уравнению,
|
|
Z = 2S · 104 рад/с. |
|
Поскольку |
Z = 2π , |
то 2S · 104 = 2π , |
|
|
|
Ò |
Ò |
откуда |
Т = 10–4 с и |
t1 = 0,5 · 10–4 с = 5 · 10–5 с. |
|
Ответ: t1 = 5 · 10–5 с.
В14. Сила тока в открытом колебательном контуре изменяется по закону i = 0,2 cos 5 · 105 S t м. Найти длину электромагнитной волны в воздухе. Ответ округлить до десятых долей километра.
Обозначим Т период колебаний, i — мгновенную силу тока, Im — максимальную силу тока, Z— циклическую частоту колебаний, t — время колебаний, с — скорость электромагнитной волны в воздухе, O — длину электромагнитной волны.
Решение
Длина электромагнитной волны в воздухе определяется формулой O = cT, где Т — период колебаний
O — ? вектора напряженности электрического поля (или вектора магнитной индукции). Период определим, зная циклическую частоту колебаний, которая согласно данному нам в условии задачи уравнению равна:
Z = 5 · 105S рад/с. |
|
||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
Z = 2π , то T = |
2π |
= |
2π |
= 4 · 10–6 с. |
|
ω |
5 105 π |
||||
Ò |
|
|
|||
Произведем вычисления:
O = 3 · 108 · 4 · 10–6 м = 1200 м.
Ответ: O = 1200 м.
В15. К потолку комнаты высотой 2,5 м прикреплена люминесцентная лампа длиной 80 см. На высоте 1 м от пола располагается непрозрачный горизонтальный диск радиусом 50 см. Центр лампы и диска лежат на одной вертикали. Найти диаметр тени диска на полу. Ответ дать с точностью до десятых метра.
655
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Обозначим Н высоту комнаты, l — длину лампы, h — высоту диска над полом, R — радиус диска, D — диаметр тени, x — расстояние от потолка до точки пересечения лучей с (рис. 384).
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Н = 2,5 м |
|
|
|
|
Выполним чертеж (рис. 394). Из подобия |
|||||||||||||||||
l = 80 см |
|
треугольников авс и сfg следует пропорцио- |
||||||||||||||||||||
h = 1 м |
|
нальность их сторон: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
R = 50 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5D = |
H − x |
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
D — ? |
|
|
|
|
|
|
|
H − x |
0,5l |
|
x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
||||||||||
откуда |
|
|
|
D = l |
|
|
|
= l |
|
|
|
|
− 1 . |
(1) |
||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
||
|
|
H–h |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
d |
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
||||
D
Рис. 394
Отрезок х найдем из подобия треугольников авс и cde:
|
|
|
R |
= |
H − h − x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
0,5l |
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
2R = |
H − h |
− 1, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
x |
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
l (H − h) |
|
|
||
|
H − h |
= 1 + 2R = |
l + 2R |
и x = |
. |
(2) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
l |
|
|
|
l |
l + 2R |
|
|||||
656
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
Подставим (2) в (1):
D = l |
H (l + 2R) |
− 1 |
= |
H (l + 2R) |
− l. |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
H − h |
|||||
|
|
l (H − h) |
|
|
|||||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
||||
D = |
2,5 (0,8 + 2 0,5) |
− 0,8 (м) | 1,8 м. |
|||||||
|
|
2,5 − 0,8 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: D | 1,8 м.
В16. Найти расстояние между двумя мнимыми изображениями точечного источника света в зеркалах, расположенных под углом 300 друг к другу (рис. 395), если источник света S находится на биссектрисе этого угла и на известном расстоянии l = 10 см между линией пересечения зеркал и точкой.
Обозначим a угол между зеркалами, L — расстояние между двумя мнимыми изображениями S1 и S2 источника S в зеркалах, d — расстояние между источником и каждым его изображением.
Дано: |
Решение |
|
|
a = 30о |
|
Обратимся к чертежу (рис. 395). |
|
l = 10 см |
|
В четырехугольнике ОаSв два угла при |
|
|
точках а и в прямые, а угол при точке О, через |
||
L — ? |
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
a |
|
|
l |
S |
|
|
|
β |
|
|
α |
L |
|
|
|
|
|
|
2 |
b d |
|
О |
α |
|
S2
Рис. 395
которую проходит линия пересечения зеркал, равен a, значит, угол E напротив него:
E = 3600 – 900 – 900 – D = 1800 – D.
657
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Теперь рассмотрим треугольник S1S S2. В нем нам известны стороны S1S и SS2, каждая из которых имеет длину d, а также угол Eмежду ними. Значит, мы можем найти искомую сторону L по теореме косинусов:
L = |
d2 + d2 − 2d d cos β = 2d2 − |
( |
) |
= |
2d2 cos 180o − α |
|
|||
|
= d 2(1 + cos α). |
|
|
(1) |
Отрезок d найдем из прямоугольного треугольника ОDS, в котором нам известна гипотенуза l, угол D/2 и катет DS против него, равный d/2. Из этого треугольника следует, что
|
|
d |
= l sin |
α , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда |
d = 2l sin |
α . |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив (2) в (1), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
L = 2l |
2(1 + cos α) sin |
α = 2l 2 |
1 + cos α sin |
α . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
α . |
Из тригонометрии известно, что |
1 + cos α = 2 cos |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
С учетом этого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
2cos α sin α |
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
= sin α. |
|
|
||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда окончательно получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
L = 2l sin α. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поскольку |
sin D = sin 300 = |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
то |
L = 2l 1 |
= l = 10 см. |
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: L = 10 см.
В17. Угол падения лучей на плоскопараллельную пластинку равен 600, смещение луча по выходе из пластинки 0,7 см. Найти длину луча в толще пластинки. Показатель преломления вещества пластинки равен 1,7.
658
Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.
Обозначим D угол падения луча на пластинку, х — смещение луча, n — показатель преломления вещества пластинки, l — длину луча в толще пластинки, J — угол преломления.
Дано:
D = 600
х = 0,7 см n = 1,7
l — ?
Решение
Из рис. 396 следует, что длина луча в толще пластинки l может быть определена из прямоугольного треугольника авс:
l = (x ), sin α − γ
α
γ α–γ |
c |
|
|
l γ |
x |
b |
α |
Рис. 396
Синус угла преломления определим из закона преломления:
|
|
sin α |
= n, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
sin γ = sin α = sin 600 |
= |
|
|
3 |
= |
|
1,7 |
= |
1 . |
||
2 |
1,7 |
2 1,7 |
||||||||||
|
n |
1,7 |
|
|
|
2 |
||||||
Следовательно, угол преломления J= 300. Теперь вычислим длину луча в пластинке:
0,7
lsin 300 ) см = 1,4 см.(600 −=
Ответ: l = 1,4 см.
В18. Высота изображения предмета 4 см, расстояние от предмета до собирающей линзы 50 см. Чему равна оптическая сила линзы, если высота предмета 80 см?
Обозначим Н высоту изображения, d — расстояние от предмета до линзы, h — высоту предмета, D — оптическую силу
659