Глава I. Азы теории чисел

§ 1. Деление целых чисел с остатком

Объектами нашего изучения будут множества N = {1, 2, 3, 4, … } всех натуральных чисел и Z = { … , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … } – всех целых чисел с естественными операциями сложения + и умножения  . Условимся обозначать через N₀ множество N  {0}.

Пусть a, b  Z и a = bq + r для некоторых целых чисел q, r, причём 0  r < |b|. Тогда говорят, что q является (неполным) частным от деления a на b, r – остатком от деления a на b, а саму запись a = bq + r называют формулой деления с остатком числа a на b. Если r = 0, то говорят, что a делится нацело на b, число b в этом случае называют делителем числа a, а число a – кратным числа b и пишут a bили b | a. Записи a b и b a означают, что a не делится нацело на b.

Замечание: формула деления с остатком определена только для b 0, ибо условие 0  r < |b| противоречиво в случае b = 0.

Примеры: 1. –2, –1, 1, 2 – все возможные делители числа 2,

2. 21 = (–4)(–5) + 1 – формула деления с остатком числа 21 на –4 (q = –5, r = 1),

3. –21 = 4(–5) – 1 – это не формула деления с остатком, т.к. остаток должен быть неотрицательным.

Теорема (о делении целых чисел с остатком). Для любых целых чисел a, b 0 однозначно определены частное q и остаток r от деления a на b (т.е. a  Z  b  Z \ {0}  ! q, r  Z a = bq + r  0  r < |b|).

Доказательство. I. Существование частного и остатка. Разберём случай неотрицательных чисел a, b. Если a < b, то a = b0 + a (0  a < b) – формула деления с остатком.

Если же a  b, то изобразив отрезки длины a и b на числовой оси, и последовательно прикладывая отрезки длины b друг к другу, найдём такое

натуральноеq  1, что qb  a < (q+1)b. Поло­жим r = a – qb и заметим, что ввиду выбора q, 0  r < b , а также a = bq+r, т.е. q – частное, а r – остаток от деления b на a.

Итак, для неотрицательных целых чисел существование деления с остатком доказано.

Если теперь a > 0, b < 0, и a = |b|q + r – найденная формула деления с остатком положительных чисел, то 0  r < |b|, и значит, a = b(–q) + r – искомая формула деления с остатком. Аналогичны рассуждения и в остав­шихся случаях. Например, если a < 0, b > 0 и –a = bq + r, где 0  r < b, то при r = 0 искомая формула принимает вид a = b(–q) + 0, а при r > 0 имеем a = b(–q) – r = b(–q)–b+b – r = b(–q–1)+(b–r), причём 0 < b – r < b, т.е. –q – 1, b – r – искомые частное и остаток соответственно. Случай a < 0, b < 0 оставляется в качестве упражнения.

II. Единственность частного и остатка. Докажем теперь единственность частного и остатка. Пусть a = bq₁ + r₁ = bq₂ + r₂ – две формулы деления с остатком, т.е. 0  r_i < |b| (i = 1, 2). Тогда b(q₁ – q₂) = r₂ – r₁ , и переходя к модулям: |b||q₁ – q₂| = |r₂ – r₁| .

Еслиq₁ = q₂ , то r₂ = r₁ и всё доказано. Если же q₁  q₂ , то |q₁ – q₂|  N и |b||q₁ – q₂|  |b|. С другой стороны, из рисунка слева видно, что |r₁ – r₂|< r_j < |b| . Таким образом, |b|  |b||q₁ – q₂| = = |r₁ – r₂| < |b| – противоречие, которое показывает, что случай q₁  q₂ невозможен.

Теорема доказана.

q-чные системы счисления

Записывать натуральные числа можно по-разному, у разных народов существуют свои особенные формы записи чисел. Наиболее употребительна в настоящее время десятичная форма представления чисел, в которой натуральное число, однозначно представимое в виде

a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 + … + a₁10 + a₀ ,

где 0  a_i  9 (0  i  n), a_n > 0, кратко записывается символически в виде последовательности десятичных (арабских) цифр: (черта здесь использована для того, чтобы отличать последовательность цифр записы­ваемого произвольного числа от произведенияa_na_n-1…a₁a₀ , и в каждом конкретном случае не ставится). Так, 123 = 110²+210+1, 47 = 410 + 7, 5709 = 510³+710²+010+9.

Другим употребительным способом записи натуральных чисел является запись с помощью римских цифр. Так, 123 =100+10+10+1+1+1 = СХХIII , где цифра С обозначает число 100, Х – соответственно 10, I – 1. Кроме использованных цифр в такой записи чисел могут участвовать цифры V – 5, L – 50, D – 500, M – 1000. Для экономии символов в римской записи предусмотрены специфические правила, подробное обсуждение которых не входит в наши планы. Например,

47  ХХХХVII = 10+10+10+10+5+1+1, 47 = XLVII = (50–10)+5+1+1,