§ 5. Взаимно простые числа

Целые числа а₁ , … , а_п (n  2), не равные одновременно нулю, назовём взаимно простыми (в совокупности), если НОД(а₁ , … , а_п) = 1, и попарно взаимно простыми, если для любых i  j (1  i, j  n) выполнено условие НОД(а_i , a_j) = 1. В случае п = 2 эти понятия совпадают, но различны в общем случае, как показывает следующий пример:

Пример: Числа 2, 3, 4 взаимно просты в совокупности (т.к. (2, 3, 4) = = ((2, 3), 4) = (1, 4) = 1), но не попарно взаимно просты ((2, 4) = 2  1).

Простейшие свойства взаимно простых чисел

1⁰. Если D = НОД(а₁ , … , а_п), то целые числа , … ,взаимно просты в совокупности.

В самом деле, если a_i = Db_i (1  i  n), то числа b₁ , … , b_n не могут иметь неединичного положительного общего делителя (?!), т.е. являются взаимно простыми в совокупности.

2⁰. Целые числа а₁ , … , а_п взаимно просты в совокупности тогда и только тогда, когда существуют целые числа х₁ , … , х_п со свойством а₁х₁ + … + а_пх_п = 1.

Действительно, если числа взаимно просты в совокупности, то можно записать линейное разложение НОД(а₁ , … , а_п) = 1 = а₁х₁ + … + а_пх_п .

Обратно, если существуют целые числа х₁ , … , х_п с указанным свойством а₁х₁ + … + а_пх_п = 1, то любой общий делитель а₁ , … , а_п очевидно делит 1, так что НОД(а₁ , … , а_п) = 1.

Из свойства 2⁰ легко вывести следующие два свойства:

3⁰. Целые числа а и b взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют целые числа х, у со свойством ах + by = 1.

4⁰. Целые числа а₁ , … , а_п попарно взаимно просты тогда и только тогда, когда для любых i < j (1  i, j  n) существуют целые числа x , y со свойствами а_iх + a_jy = 1.

5⁰. Для целых чисел a, b, т следующие два условия эквивалентны:

1. а взаимно просто с т и b взаимно просто с т,

2. произведение аb взаимно просто с т.

(1)  (2) По свойству 3⁰ найдутся целые числа х, у, u, v со свойствами ax + my = 1, bu + mv = 1. Перемножая эти равенства получим:

1 = (ax+my)(bu+mv) = (ab)xu + m(axv + byu + myv),

что и требовалось.

(2)  (1) Если abx + my = 1, то это равенства показывает ввиду свойства 3⁰, что а взаимно просто с т и b взаимно просто с т.

6⁰. Для целых чисел a₁ , … , а_п , т следующие два условия эквивалентны:

1. каждое число а_i взаимно просто с т (1  i  n),

2. произведение а₁ … a_n взаимно просто с т.

Это доказывается индукцией по п. Базу индукции (п = 2) обеспечивает свойство 5⁰. Предположим, что эквивалентность условий уже доказана для п = k  2 и докажем её для п = k + 1. Имеем

(каждое число а_i взаимно просто c m (1  i  k+1)) 

 (а_i взаимно просты с т (1  i  k) и a_k+1 взаимно просто с т)

(а₁ … a_k взаимно просто с т и a_k+1 взаимно просто с т)

(произведение (а₁ … a_k)a_k+1 взаимно просто с т),

что и требовалось доказать.

7⁰. Если целые числа a и b взаимно просты, то

 с  Z a | bc  a | c.

В самом деле, если bc = аd, то учитывая существование целых чисел х, у со свойством ах + by = 1, получим

с = аcx + bcy = аcx + ady = a(cx + dy).

Обратная импликация очевидна.

Это свойство часто используется в теоретико-числовых рассуждениях, с его помощью можно, например, сократить доказательства некоторых свойств делимости нацело. Поэтому будем его называть основным свойством взаимно простых чисел.

Упражнения: 1. Проанализируйте доказательства свойств делимости нацело и упростите некоторые из них, применив свойство 7⁰.

2. Докажите, что если квадрат некоторого натурального числа раскладывается в произведение попарно взаимно простых множителей, то каждый из них является квадратом подходящего натурального числа.

3. Докажите, что если D = НОД(а, b), то  п  N Dⁿ = НОД(аⁿ, bⁿ).