Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1 СЕМЕСТР. Экономика. Микроэкономика. Поведение, институты и эволюция Самуэль Боулз / Микроэкономика. Поведение, институты и эволюция_Самуэль Боулз_2010 -576с

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
4.65 Mб
Скачать

Глава 2. Спонтанный порядок: самоорганизация экономической жизни 69

В начале каждого периода некоторая доля популяции, ω [0, 1], может скор­ ректировать свои признаки в соответствии с некоей «культурной моделью» (кон­ курента, учителя, коллеги или, например, соседа). Оставшаяся часть популяции не станет корректировать свои признаки вне зависимости от приобретенного опыта. То, что не все члены популяции произведут корректировку, отражает тот факт, что люди обычно усваивают типы поведения — зачастую в юности, — а за­ тем долго сохраняют приверженность им. Конечно же вполне вероятно, что не­ которые признаки корректируются очень часто — например, манера одеваться, в то время как другие признаки копируются лишь иногда — к примеру, религия. Скорость, с которой происходит корректировка, а также другие аспекты про­ цесса обучения, который мы моделируем, не задаются явно. И хотя они сами зависят от эволюционного давления, мы упрощаем модель и отвлекаемся от эн­ догенной природы самого процесса корректировки.

Если культурная модель и индивид обладают одинаковыми признаками, индивид этот признак сохранит, что произойдет и с агентами x и y с вероятно­ стью p и (1 – p) соответственно (и индивид, и культурная модель в следующем периоде произведут по единственной реплике — самих себя). Но если признаки модели и индивида различны, то последний сохранит свой признак либо изме­ нит его в зависимости от того, какими были в предыдущем периоде их платежи. Платежи и культурной модели, и индивида определяются тем, в каких парах они оказались, и поэтому изменяются с частотой появления признака в попу­ ляции. Конечно же индивид может взять за образец признак более широкой группы, получившей соответствующий платеж, а не просто сравнить платеж свой и культурной модели, но в данный момент для нас это мало что изменит. Если индивид переключится, это означает, что модель произвела две копии, а индивид — ни одной (в гл. 11 я использую данную модель для изучения возник­ новения и распространения индивидуальных прав собственности).

Рассмотрим культурную модель (y­типа) и индивида x­типа, получивших в предыдущем периоде платежи By и Bx соответственно (не обязательно равные by и bx из­за искажения при подборе пары). Небольшое различие в платежах не обязательно приведет к переключению и даже может не быть замеченным, так что мы говорим, что с вероятностью β(By Bx) индивид x­типа переключится, если Bx < By. Если же Bx By, индивид не переключится. Коэффициент β — по­ ложительное число, отражающее тот факт, что чем больше разница в платежах, тем больший эффект она оказывает на переключение. Число выбрано таким об­ разом, чтобы вероятность переключения менялась в пределах единичного ин­ тервала. Если мы положим, что ry > x = 1, если платеж y­типа превысит платеж x­типа, а в остальных случаях будет равно нулю, переходя к математическому ожиданию (размер популяции большой), мы можем записать, чему равна ожи­ даемая частотность признака x в популяции в период времени t + 1, которую мы обозначим как p′:

p ′ = p − ωp (1 − p) ρy >xβ(b y bx ) + ωp (1 − p)(1 − ρy >x ) β(bx b y ).

(2.5)

Выражение можно прочитать так: если в некий период существует p инди­ видов x­типа, и часть из них, равная ω, подходит для корректировки, то каждый

70 Часть I. Координация и конфликт: базовые социальные взаимодействия

из ωp этих x­типов появится в паре с моделью y­типа с вероятностью (1 – p); а с вероятностью ry > x β(by bx) информация о платежах, которой они облада­ ют, вынудит их переключиться на другой тип. Частично компенсируя потери x­типов, некоторые из y­индивидов натолкнутся на x­модели и в ходе аналогич­ ного процесса перейдут в разряд x­типов. Преобразуем уравнение (2.5) и запи­ шем его как

p = p ′ − p = ωp (1 − p) β(bx b y ).

(2.6)

Из уравнения (2.6) видна двойственная зависимость направления и скоро­ сти корректировки признаков от величины p. Во­первых, p(1 – p), изменчивость признака, показывает, чему равно количество x­типов, которые образуют пары с y­типами; крайние значения p делают эту встречу очень маловероятной. Во­ вторых, выражение ωβ{bx(p) – by(p)} (запишем его так, чтобы показать в явном виде функциональную зависимость b от p) описывает воздействие, которое ока­ зывает p на платежи, а следовательно, и на процесс корректировки признаков. Заметим, что чем больше значения ω и β, тем бо2льшая часть индивидов окажет­ ся в процессе корректировки, а процесс изменения признака становится более чувствительным к разнице платежей — т. е. динамика ускоряется, если bx by. Записав средний в популяции платеж как b = pbx +(1 − p) b y , мы можем пере­ писать уравнение (2.6) более компактно:

p = ωpβ(bx b

),

(2.6′)

и это станет общим видом (применимым к любому количеству признаков) дис­ кретной репликационной динамики — способом моделирования динамических

систем, сформулированным Тэйлором и Джонкером (Taylor & Jonker, 1978) и широко применяемым в популяционной биологии и эволюционных обществен­ ных науках1.

Из уравнения (2.6) видно, что существуют два необходимых компонента такого анализа эволюционных изменений: изменчивость и дифференциальная репликация. Изменчивость, описываемая выражением p (1 – p), имеет суще­

ственное значение, поскольку чем более однородна популяция, тем медленнее идет эволюционный процесс. Заметим, что p (1 – p) достигает максимального значения при p = 1/2, так что в популяции, разделенной на равные части, при

прочих равных скорость изменения p максимальна. Дифференциальная репли­ кация, иногда называемая отбором, выражается как ωβ{bx(p) – by(p)}. Давление,

оказываемое дифференциальной репликацией (давление отбора), будет слабым, если корректировку производит лишь небольшая часть популяции, разница между платежами мала, а отклик на разницу платежей слаб. Уравнения (2.6)

и(2.6′) дают полное описание соответствующей одномерной динамической

1 Я представил репликационное уравнение в дискретном, а не непрерывном времени, потому что многие проблемы, отраженные на этих страницах, оперируют с натуральными временными единицами (такими, как поколения), что придает использованию дискретного

времени большую наглядность. Конечно, дискретная и непрерывная динамики существенно различаются, однако это не имеет значения для нижеследующего анализа (Weibull, 1995).

Глава 2. Спонтанный порядок: самоорганизация экономической жизни 71

системы. Поскольку здесь мы имеем дело лишь с двумя признаками, фазовое пространство в примере, т. е. все возможные исходы, — просто все значения,

которые может принять переменная p на единичном интервале. По этой при­

чине результирующая динамическая система называется «одномерной». Заметим, что уравнение (2.6) идентично выражению, описывающему динамику сегрегированного рынка жилья, т. е. уравнению (2.3).

Для каждого значения p репликационное уравнение представляет собой отображение Dp = γ(p), где функция γ, называемая векторным полем, опреде­

ляет для каждого состояния из фазового пространства направление и скорость

изменения этого состояния. Обычно нас интересуют состояния p* такие, что γ(p*) = 0, называемые стационарными состояниями (также их называют

точками покоя или критическими точками динамики), и характеристики их стабильности, определяемые как γ(p* + ε), где ε — произвольно малое отклоне­ ние p. Из уравнения (2.6′) понятно, что Dp = 0, если

bx(p) – by(p) = 0

(2.7)

или если p равно нулю либо единице (потому что при p = 1 выполняется bx = b). Для p [0, 1] знак Dp определяется знаком выражения bx by, отражая моно­ тонность корректировки по платежам.

Зная об одномерности данной динамической системы, мы можем легко опи­ сать свойства ее устойчивых состояний: равновесие асимптотически устойчиво (самокорректируемо), если производная уравнения (2.6′) по p отрицательна (т. е. если dDp/dp < 0), что требует выполнения условия

db y

db

 

= π( y, x) − π( y, y) − π(x, x) + π(x, y) > 0.

 

dp

dp

 

 

 

 

x

 

(2.8)

 

 

 

 

 

Это означает, что как только из­за каких­либо внешних причин растет частота появления x­типов в популяции, растет и разница ожидаемых платежей между

типами y и x (так что рост числа x­типов сводится на нет тем, что вызовет ситуа­ цию, благоволящую y­типам). Асимптотическая устойчивость стационарного

состояния p* означает, что все достаточно малые изменения состава популяции приведут к изменениям, ведущим к достижению p*. Устойчивость по Ляпунову

требует выполнения только того, чтобы все малые изменения значения p не да­

вали в результате последующего отклонения дальше от p* (устойчивость по Ля­ пунову иногда называют нейтральной устойчивостью). Я стану использовать

термин «устойчивость» (без дополнений), имея в виду более строгую асимптоти­ ческую (самокорректирующуюся) концепцию. Асимптотическая устойчивость очевидным образом подразумевает устойчивость по Ляпунову. Разница между обеими концепциями устойчивости становится важна, когда индивидуальное поведение подвергается (даже в относительно малой степени) стохастическим воздействиям — таким, как мутации или специфические игры (с ненаилучшим ответом). Пример тому приводится в гл. 11. Уравнение (2.8) отражает интуитив­ ное предположение о том, что асимптотически устойчивое равновесие должно характеризоваться отрицательной обратной связью: рост частоты появления

72 Часть I. Координация и конфликт: базовые социальные взаимодействия

x­типов должен уменьшать их относительные преимущества1. Равновесие, в ко­ тором неравенство (2.8) не выполняется (и строго меньше нуля), неустойчиво из­за положительной обратной связи: случайное увеличение значения p более выгодно для x­типов, чем для y­типов, и значение p сдвинется от p*.

Процесс корректировки можно исследовать двумя путями. С одной сторо­ ны, если внутреннее равновесие устойчиво, можно изучить, как внешние воз­ действия смещают равновесие. Для этого следует проанализировать, как изме­ нения основополагающей игры и процесса корректировки влияют на значение p*. Сделать это можно, продифференцировав условия равновесия (2.7) по экзо­ генным детерминантам репликационного уравнения, включая не только любые технологические и другие данные, определяющие структуру платежей и прочие аспекты игры, но и такие институционально зависимые особенности процесса переноса, как правила нахождения пары или столкновения с культурной моде­ лью, частота встреч данных агентов и возможное наличие факторов, влияющих не на платежи, а на корректировку, — как, например, конформизм. Я стану ис­ пользовать этот подход в гл. 3, 7, 11 при изучении влияния экономических инс­ титутов на эволюцию предпочтений.

С другой стороны, если при наличии единственного внутреннего неустой­ чивого равновесия существуют два устойчивых равновесия с однородной по­ пуляцией, состоящей только из x­типов либо только из y­типов (как в случае с сегрегированным рынком жилья). В этом случае нам может быть интересно

исследовать процесс развития того, каким образом достигается тот или иной результат. Для этого необходимо рассмотреть область притяжения каждого

устойчивого стационарного состояния, определяемую как набор начальных со­ стояний, из которых невозмущенные динамические системы стремятся к дан­ ному равновесию. В одномерных системах, которые мы изучаем, если единствен­ ное внутреннее стационарное состояние p* нестабильно, область (или интервал) притяжения p = 0 состоит из ряда значений p, для которых Dp = γ(p) < 0, а по­ этому популяция будет тяготеть к p = 0. Таким образом, внутреннее (неустой­ чивое) равновесие p* разделит единичный интервал на две области притяжения: одна с Dp > 0 для p > p*, а другая — с Dp < 0 для p < p*. В модели сегрегации жилья область притяжения для равновесия, в котором все население «синее», задается как f < f *.

Как мы увидим, многие упрощения, используемые при выводе модели, можно ослабить. Но одно ключевое предположение в предыдущих рассуждени­ ях становится существенным и при этом достаточно сильно ограничивающим, однако обойтись без него практически невозможно. Я принял ожидаемые зна­ чения за разумное приближение к реальным платежам, однако размер многих популяций, которых мы изучаем, — соседей, рассмотренных только что, или ра­ ботников фирмы — слишком мал для того, чтобы оправдать такое предположе­

1 Существует техническая сложность, которую я не затронул. При рассмотренной диск­ ретной динамике возможно, что в случае отклонения процесс корректировки меняет p в на­ правлении p*, но происходит перелет устойчивого значения p*. Я предполагаю, что временной интервал достаточно короток (а значит, ω достаточно мало) для того, чтобы предотвратить такую ситуацию.

Глава 2. Спонтанный порядок: самоорганизация экономической жизни 73

ние. Поэтому, например, если p есть частота появления x­типов, а пары образу­ ются случайным образом, ожидаемое количество x­типов, образовавших пару с x­типами, будет равно p2, но в действительности это число может быть порядка p (если предположить, что число x­типов четное), или нулю, и в малых группах обе ситуации складываются достаточно часто. Проблема искажений при под­ боре пары и другие проблемы влияния малых n­численных групп на эволюци­ онную динамику могут показаться просто придиркой, но это не так. Из гл. 12 и 13 вы узнаете, что малый размер группы в совокупности со случайностью очень серьезно влияет не только на скорость, но и на направление эволюционных из­ менений.

Второе ограничение репликационной динамики заключается в том, что урав­ нения, описывающие систему, не зависят от времени, т. е. система автономна или однородна по времени. Таким образом, система рассматривается отвлечен­

но от меняющихся в ходе истории воздействий на уравнения, — например, уро­ вень знаний, технологий, институциональные факты принимаются как данность или как погода. Конечно, поняв динамику этих зависящих от времени воздей­ ствий, мы включили бы их в виде переменных состояния в нашу динамическую систему. Становится ли однородность по времени репликационной динамики проблемой или нет, зависит от рассматриваемого вопроса; для некоторых про­ блем абстрагирование, скажем, от климатических изменений оправданно, а для других — нет. Объяснение возникновения индивидуальных прав собственно­ сти, данное в гл. 11, — тот случай, когда погодные изменения меняют дело. Если процессы отбора, описываемые репликационной динамикой, идут достаточно медленно по сравнению с изменениями соответствующих технологий и других экзогенных параметров, определяющих базовую игру, то динамическая система может никогда так и не достигнуть окрестности стационарного значения p (по­ скольку они станут постоянно отодвигаться под внешними воздействиями).

Третья проблема репликационной динамики отражена в ее названии: ее не­ льзя использовать для освоения инноваций. Чтобы изучить истинные новшества (а не дифференциальные репликации существующих признаков), мне необхо­ димо ввести дополнительную концепцию эволюционно устойчивой стратегии.

эволюционная устойчивость и социальные исходы

При каких условиях в популяцию может «вторгнуться» новый признак? Кон­ кретным примером такого «вторжения» может служить стремительно рас­ пространившаяся в последнем столетии по многим странам практика создания маленьких, а не больших семей. Или задумайтесь о позднефеодальном европей­ ском обществе, в которое «вторглось» небольшое количество итальянских куп­ цов, использующих совершенно новые способы ведения дел, — такие, как двой­

ная запись в бухгалтерии и система общинной ответственности за исполнение контрактов (Greif, 2002; Padgett, 2002). «Захватчики» процветали, а со временем

изменили весь феодальный порядок. Другой пример — коррупция, «вторгаю­ щаяся» в общество честных торговцев, или уважительные формы обращений в лингвистическом сообществе, вытесненные обычными местоимениями.

74 Часть I. Координация и конфликт: базовые социальные взаимодействия

Хотя репликационная динамика — удобный аналитический инструмент, он не позволяет признаку, не существовавшему в популяции в период t, быть скопированным в период t + 1. Вспомним, что условие стационарности для p выполняется для p = 1 и p = 0 вне зависимости от платежей, которые могут воз­ никнуть при отсутствующей стратегии, если бы она появилась. Эти значения p всегда стационарны в репликационной динамике, но могут не быть равновесны­ ми по Нэшу и асимптотически устойчивыми: небольшие отклонения от p = 0 и p = 1 могут и не быть самокорректирующимися. Несложно расширить модель репликационной динамики и учесть и инновации, и случайность; и мы вернем­ ся к этим стохастическим эволюционным моделям в заключительных главах. Сейчас, однако, вместо появления в репликационном уравнении случайности в явном виде мы введем удобное упрощение, позволяющее принять во внимание появление инноваций — понятие эволюционной устойчивости.

Неудивительно, что биологи предвосхитили моделирование инноваций. Их

интерес к тому, могло ли небольшое количество мутаций распространиться по большой популяции, привел к возникновению ключевой концепции эволюционно устойчивых стратегий. Основная идея заключается в том, что если все чле­

ны популяции выбирают эволюционно устойчивую стратегию, то «вторжение» индивидов с другой стратегией будет подавлено. Рассмотрим большую (строго говоря, бесконечную) популяцию, в которой индивиды случайным образом вы­ бирают пару для взаимодействия (как и в предшествующей модели). Предполо­ жим, как и раньше, что мы рассматриваем два типа поведенческих признаков, x и y. Признак y станет эволюционно устойчивым по отношению к признаку x, если существует некая положительная доля популяции p~ такая, что если доля популяции, выбирающая x, меньше, чем p~, то главенствующая стратегия (y) произведет больше реплик, чем x, и тем самым нейтрализует претендента.

Я кратко рассмотрю один случай, на примере которого вы увидите, что «барьер вторжения», p~ [0, 1], есть неустойчивое внутреннее равновесие и определяет

границу области притяжения для p = 0 и p = 1, упомянутую ранее.

Чтобы увидеть, что влечет за собой эволюционная устойчивость, нам нуж­ но понять, что произойдет в большой популяции, состоящей исключительно из y­типов, если туда попадет небольшое количество x­типов. Используем уравне­ ние (2.6′) и найдем, чему равно Dp при p = ε, если ε достаточно мало. Мы знаем, что Dp будет иметь тот же знак, что и

bx(ε) – by(ε) = {επ (x, x) + (1 – ε) π (x, y)} – {επ (y, x) + (1 – ε) π (y, y)}. Поведенческий признак y является эволюционно устойчивой стратеги-

ей (ESS) по отношению к некой другой стратегии x тогда и только тогда, когда bx(ε) – by (ε) < 0, что выполняется для малых значений ε, если

π (y, y) > π (x, y)

(2.9)

или если

π (y, y) = π (x, y) и π (y, x) > π (x, x).

Таким образом, ESS становится наилучшим ответом на саму себя (по край­ ней мере, слабым, поскольку в данном случае никакая другая стратегия не смо­

Глава 2. Спонтанный порядок: самоорганизация экономической жизни 75

жет стать наилучшим ответом на саму себя). Небольшие отклонения p от ESS (в соответствии с вышеприведенными рассуждениями) самокорректируются. Мы знаем, что любая ESS является симметричным равновесием по Нэшу, кото­ рое асимптотически устойчиво в репликационной динамике. Если мутация —

слабый наилучший ответ на себя (т. е. последнее неравенство из (2.9) не строгое, однако π (y, x) ≥ π (x, x)), то y может быть нейтрально устойчивым: новичка

можно и не устранить, но его признак не распространится в ходе монотонного корректирования платежей1. Конечно, такое нейтрально устойчивое состоя-

ние (NSS) можно нарушить процессом дрейфа (т. е. дальнейшим экзогенном внедрением инноваций), что получит важные последствия в дальнейшем (см., например, гл. 11). Таким образом, NSS и еще более строгое ESS представляют собой эволюционные усиления равновесия по Нэшу. Каждая ESS является NSS, а каждая NSS — равновесием по Нэшу, однако обратное конечно же неверно.

Противоположностью эволюционной устойчивости выступает способность к вторжению, которую Аксельрод и Гамильтон (Axelrod & Hamilton, 1981) на­ звали изначальной жизнеспособностью2. Если x изначально жизнеспособен по

отношению к y, то y — не ESS. Заметим, что если y есть ESS относительно x, то это ничего не говорит нам о статусе y по отношению к некоему признаку k или одновременно возникшим мутациям x и k.

Зачастую мы хотим знать, подвержена ли смешанная популяция (для кото­ рой p [0, 1]) влиянию некой редкой мутации. Мы можем это проверить толь­ ко заметив, что популяция, в которой все применяют одну и ту же смешанную стратегию, является однородной по стратегиям, даже если при этом она пове­ денчески неоднородна в том смысле, что в каждый момент различные индивиды предпринимают различные действия. Представив полиморфную популяцию как такую, в которой все индивиды применяют смешанную стратегию (выбирают x

и y с вероятностью p* и (1 – p*) соответственно), мы сможем говорить об этой смешанной стратегии как о внутренней (или смешанной) ESS по отношению к

некой другой стратегии k, если при появлении небольшого количества k­типов они сразу же ликвидируются. Чтобы p* являлось ESS, оно должно быть стацио­ нарно и асимптотически устойчиво в репликационной динамике; если это не так, то ожидаемые платежи стратегий, составляющих смешанную популяцию (ина­ че говоря, основа смешанных стратегий), были бы неравны в окрестности p*, так что платеж одной из составляющих стратегий превысил бы платеж смешанной стратегии, и мутант с его чистой стратегией внедрился бы в популяцию.

Подобно репликационной модели, которая мало что может сказать о дина­ мике на «границах» популяции (т. е. для p = 0 и p = 1), концепция изначальной жизнеспособности и эволюционной устойчивости не в состоянии проиллюстри­ ровать динамику, управляющую p для внутреннего случая. Обычно полезно со­ вмещать оба подхода, задаваясь вопросом о том, являются ли стационарные экс­ тремальные значения p ESS, т. е. асимптотически устойчивыми.

1 Каждая NSS является устойчивой по Ляпунову.

2 В биологическом смысле понятие «жизнеспособный» означает способный жить и раз­ виваться нормально.

76 Часть I. Координация и конфликт: базовые социальные взаимодействия

 

 

 

Таблица 2.2

 

 

Игра «Ястреб — Голубь»

 

 

(платежи игрока, чьи стратегии идут по строкам)

 

 

 

 

 

 

Ястреб (H)

Голубь (D)

 

 

 

 

Ястреб (H)

 

a = (v c)/2

b = v

 

 

 

 

Голубь (D)

 

c = 0

d = v/2

 

 

 

 

Примечание. Пригодность (количество потомства) равняется ϕ плюс платеж игры.

Игра «Ястреб — Голубь» иллюстрирует эти концепции. Как известно, ястре­ бы воинственны, а голуби миролюбивы. Игру обычно применяют при изуче­ нии культурно или генетически передаваемых человеческих черт — таких, как агрессия или способность делиться, но придумали ее для изучения соревнований между другими животными.

А вот и игра. Если встречаются два Голубя, они делят приз; Ястребы же за приз дерутся, причиняя друг другу убытки; наконец, когда встречаются Ястреб и Голубь, Ястреб забирает приз. Такие же рассуждения, ставшие известной ме­ тафорой, но относящиеся к автомобилям, присущи игре на уклонение, в кото­ рой «упрямые» водители никогда не сворачивают в сторону. Поэтому, когда они встречаются, они разбиваются, однако если на их пути встречается «трус» (тот, кто сворачивает), они получают (возможно, психологическую) выгоду, а свернув­ ший водитель — унижение. Пусть приз, за который борются, равен v, издержки при проигрыше — c, а вероятность того, что один Ястреб выиграет в борьбе с другим Ястребом (они совершенно одинаковы) равна 1/2. Голуби же делят приз поровну и без издержек. Таким образом, получаем платежную матрицу, пред­ ставленную в табл. 2.2, из которой ясно видно, что пока c > v, ни стратегия H, ни стратегия D не будут ESS. (Удобный способ поиска ESS в больших матрицах, состоящих из рядов платежей, такой: надо задаваться вопросом: является ли это значение в главной диагонали наибольшим в своем столбце? Если да, то этот столбец и представляет собой ESS.)

Члены популяции образуют пары случайным образом, так что обозначим bh (p) и bd (p) ожидаемые выигрыши Ястреба (H) и Голубя (D) соответственно. В популяции, доля Ястребов в которой равна p, ожидаемые выигрыши, проил­ люстрированные на рис. 2.2, таковы:

bh (p) = pa + (1 – p) b,

 

bd (p) = pc + (1 – p) d.

(2.10)

Чтобы проиллюстрировать использование репликационного уравнения для рассмотрения эволюционного процесса, основанного на пригодности, предпо­ ложим, что в конце периода каждый член популяции производит некоторое количество точных реплик (исключая мутации), равное ϕ плюс платеж игры,

так что платежи выражены в количестве потомков, выживших и доживших до репродуктивного возраста, т. е. до пригодности (ϕ называют базовой пригодно-

стью). Предположение о том, что один индивид (а не пара) может произвести

Глава 2. Спонтанный порядок: самоорганизация экономической жизни 77

Рис. 2.2. Зависимые от частоты платежи игры «Ястреб — Голубь». Количество реплик равно платежу плюс некоторая константа

потомство, упрощает модель; такое предположение о клонировании или воспро­ изводстве не половым путем становится простой (и часто полезной) альтернати­ вой более реалистичному моделированию процесса репликации, опирающегося на воспроизводство половым путем. Нормируя размер популяции к единице, запишем, какой станет в следующем году частота появления Ястребов в попу­ ляции, p′:

p ′ = pbh +(1 − p) bd + ϕ .

(2.11)

p (bh + ϕ)

Числитель говорит следующее: «В этом году в популяции было p Ястребов, и каждый из них произвел bh + ϕ потомков, что даст в следующем году p (bh + ϕ) Ястребов». Знаменатель показывает общее число Ястребов и Голубей в следу­ ющем году. Притом что мы пронормировали размер популяции к единице, об­ щее число реплик также в среднем равно b.

Нам нужно узнать, чему равно Dp, так что, вычтя p из каждой части уравне­ ния (2.11), мы получим

p p ′ − p =

p (b h

+ ϕ)

p {p (b h + ϕ) +(1 − p)(bd + ϕ)}

,

(2.12)

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что, после небольшого преобразования и с помощью значений из платежной матрицы для замены (bh bd) на 1/2 (v pc), дает уравнение

b

p = p (1 − p)(bh bd ) = p(1 − p) 12 (v pc),

(2.12′)

 

 

 

т. е. мы получили в точности уравнение репликационной динамики, уже выве­ денное нами в предыдущих разделах (другим путем) для модели жилищной сег­ регации и общего случая корректировки культурного признака.

78 Часть I. Координация и конфликт: базовые социальные взаимодействия

Стационарными внутренними значениями p выступают те, для которых вы­ полняется bh (p) = bd (p), так что, используя уравнение (2.10) и решая его для p*, т. е. для стационарной частоты появления Ястребов в популяции, получаем

p* =

b d

=

v

,

(2.13)

b +c a d

c

 

 

 

 

из которого видно, что равновесная доля Ястребов растет с величиной приза и падает с увеличением издержек борьбы, как и можно было ожидать. (Вы мо­ жете проверить, что значение p* = v/c стационарно, подставив его в уравнение (2.12′).) Условие равного платежа, определяющее стационарность p, проясняет, почему p* — равновесие по Нэшу: если доля Ястребов равна p*, то обе стратегии станут слабыми наилучшими ответами.

Будет ли вышеназванное равновесие устойчивым? Мы видим, что

 

d (bh bd )

=

d {12 (v pc)}

= − 1

2

c < 0,

(2.14)

 

 

 

dp

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

так что рост распространенности Ястребов в относительной мере станет им помехой (и приведет к снижению частоты появления Ястребов в следующем периоде). Условие устойчивости (2.14) требует, чтобы функция ожидаемых пла­ тежей Ястребов на рис. 2.2 была «круче» (абсолютное значение угла ее наклона больше), чем у Голубей, что проистекает из вышеназванного отрицательного эффекта обратной связи. Как p = 0, так и p = 1 также устойчивы в репликаци­ онной динамике (последнее выполняется, поскольку bh (1) = b (1)). Однако это неверно для равновесия по Нэшу, как можно понять из того, что bh (0) > bd (0) и bh (1) < bd (1). Просто напомним, что если существует лишь одна стратегия, которую можно реплицировать, то частота ее в популяции, управляемая репли­ кационной динамикой, остается неизменной. Но такая популяция может быть подвержена внедрению мутации.

Существование и свойства устойчивости внутреннего равновесия соотносят­ ся с концепцией ESS следующим образом (в общем случае, в котором набором стратегий служит (x, y), а p — доля популяции x­типа): если ни одна стратегия не ESS, то существует асимптотически устойчивое внутреннее равновесие. Точно так же, если обе стратегии ESS, существует неустойчивое внутреннее равновесие, хотя как p = 0, так и p = 1 асимптотически устойчивы (вы можете убедиться в этом немного позднее в случае игры «На доверие»). В таком случае неустойчивое внутреннее равновесие станет «барьером вторжения» (p~), являющимся частью определения ESS. Все эти связи сведены воедино для игры с двумя стратегиями, x и y, в табл. 2.3.

Действительно ли анализ эволюционной устойчивости позволяет сделать предположения относительно исходов? Если ни x, ни y не являются ESS, если инновации не предотвращаются и процесс корректировки управляется репли­ кационной динамикой, мы можем совершенно точно предположить, что ин­ формация о частотности в точке p* или в ее окрестности должна быть обще­ доступной. В этом случае, возвращаясь к нашим примерам, мы должны были бы ожидать одновременное существование больших и малых семей, коррумпи­