6.8*. Кривизна кривой

Напомним, что знак второй производной на некотором интервале определяет выпуклость вверх или вниз графика функции на этом интер-вале. В то же время, одни функции более выпуклы, чем другие.

Введём понятие, которое характеризует это явление.

Определение 1. Кривизной функции в точкех называется предел

.

y

N

R(x)

М

О x х

Если воспользоваться таблицей эквивалентных б.м.в., формулой для нахождения угла между двумя прямыми и геометрическим смыслом производной, то для вычисления средней кривизны, получим

.

Преобразуем это выражение, воспользовавшись теоремой Лагранжа

.

Переходя к пределу при и, учитывая, что при этом , а и, получаем формулу для вычисления кривизны

. (1)

Для случая, когда линия задана параметрическими уравнениями с учетом того, что производные имеют вид

,

из формулы (1) получим

. (2)

Определение 2. Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны: .

Определение 3. Если в обратную сторону выпуклости кривой по направ-лению нормали отложить отрезок MN, равный радиусу R(x) кривизны линии, то точка N называется центром кривизны в данной точке.

Пример 2. Найти кривизну и радиус кривизны прямой линии .

Так как .

Пример 3. Найти кривизну и радиус кривизны окружности

Воспользуемся формулой (2)

Пример 4. Найти кривизну и радиус кривизны параболы .

Воспользуемся формулой (1)

.

Отметим, что наибольшее значение кривизна принимает в вершине параболы.

Определение 4. Множество точек – центров кривизны для данной линии называется эволютой этой линии, а сама линия для своей эволюты – эвольвентой.

Например, для параболы, рассмотренной в предыдущем примере, эволюта имеет следующий вид:

у

эволюта

1 (эвольвента)

О 1х

106