- •Курс лекций
- •П р е д и с л о в и е
- •Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
- •1.1. Определители второго и третьего порядков
- •1.2. Основные свойства определителей
- •1.3. Вычисление определителей
- •Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Правило Крамера
- •Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы
- •3.1. Основные виды матриц
- •3.3. Обратная матрица
- •3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •. Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений
- •4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
- •1.1. Определение вектора
- •Лекция № 6.
- •1.4. Способы задания векторов
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Тема 2: Скалярное произведение
- •2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
- •2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
- •Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение
- •3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
- •3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •3.3.* Механический смысл векторного произведения
- •Тема 4 : Смешанное произведение
- •4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
- •4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
- •Аналитическая геометрия Лекция № 8. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •Лекция № 10. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •3.3. Парабола
- •3.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 12.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 14. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 15. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 16
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 17
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 18. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференциальное исчисление Лекция № 19. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •Лекция № 20.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 22. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 23.
- •6.5. Выпуклость функции и точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 24.
- •6.8*. Кривизна кривой
4.12. Дифференциал функции
Пустьфункция имеет в точкех производную, т.е. существует
.
Тогда по теореме о пределе функции
,
где приили
. (8)
Второе слагаемое в формуле (8) является б.м.в. более высокого порядка, чем . Первое слагаемое называетсяглавной или линейной частью приращения функции.
Определение 2. Главная часть приращения называетсядифферен-циалом функции и обозначается
. (9)
Тогда формула (8) примет вид
.
В частности, для функции , т.е. для аргу-ментаи поэтому окончательно формула (9) принимает вид
.
Из рисунка следует геомет-у
рический смысл дифференциала.
х
Таким образом, дифференциал функции – это приращение ординаты точки, лежащей на касательной.
Отметим основные свойства дифференциала, которые следуют из соответствующих правил дифференцирования:
1.
2.
3.
Найдём выражение для дифференциала сложной функции . Тогдаили.
Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргу-мента. Это свойство первого дифференциала называется инвариантностью.
Замечание 3. Из обозначения производной следует, что производнуюможно рассматривать как отношение дифференциалов.
Лекция № 21.
Тема 5 : Основные теоремы о дифференцируемых функциях
5.1. Теорема Ролля
Теорема. Если функция непрерывна на, дифференцируема наи, то существует такая точка, что
Если .
Поэтому будем считать, что и в силу непрерывности функцииона достигает насвоего наибольшего и наименьшего значений. При этом, так как, то хотя бы одно из них дости-гается внутри промежутка. Пусть это.
Покажем, что (теорема Ферма). Приимеем
.
Аналогично, при
Всилу дифференцируемостиимеему
.
Замечание 1. Теорема имеет
простой геометрический смысл:
существует точка ,
в которой касательная к кривой
параллельна оси Ох. а b х
5.2. Теорема Лагранжа
Теорема. Если функция непрерывна на, дифференци-руема на, то существует такая точка, в которой
.
Составим функцию
.
Так как функция непрерывна на, дифференцируема наи, то по теореме Ролля существует точка, в которой, т.е.
5.3. Правило Лопиталя
Теорема. (Раскрытие неопределённости вида ). Пустьидифференцируемы в окрестности точкиx0 и . Тогда, если существует, то существуети.
Запишем отношение функций . К числителю и зна-менателю применим теорему Лагранжа, где.
Если перейти к пределу при , тогда
Замечание 2. Правило Лопиталя справедливо и для случая, если , так как заменой онсводится к случаю при
Покажем это,
.
Замечание 3. Теорема имеет место и для неопределённости вида . Неопределенности видов и приводятся к рассмотренным
случаям путём алгебраических преобразований.
Например, снеопределённостьювида поступаютследующим образом: .
При неопределённостях вида: применяют лога-рифмирование, т.е. вместо предела функциирассматривается предел выражения
.
Замечание 4. Требование существования предела в правиле Лопиталя существенно. Так, например, правило Лопиталя нельзя применить к пределу
, так как не существует . В тоже время
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.