- •Курс лекций
- •П р е д и с л о в и е
- •Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
- •1.1. Определители второго и третьего порядков
- •1.2. Основные свойства определителей
- •1.3. Вычисление определителей
- •Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Правило Крамера
- •Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы
- •3.1. Основные виды матриц
- •3.3. Обратная матрица
- •3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •. Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений
- •4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
- •1.1. Определение вектора
- •Лекция № 6.
- •1.4. Способы задания векторов
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Тема 2: Скалярное произведение
- •2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
- •2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
- •Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение
- •3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
- •3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •3.3.* Механический смысл векторного произведения
- •Тема 4 : Смешанное произведение
- •4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
- •4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
- •Аналитическая геометрия Лекция № 8. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •Лекция № 10. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •3.3. Парабола
- •3.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 12.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 14. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 15. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 16
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 17
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 18. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференциальное исчисление Лекция № 19. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •Лекция № 20.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 22. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 23.
- •6.5. Выпуклость функции и точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 24.
- •6.8*. Кривизна кривой
2.2. Предел функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности, за исключением, быть может, самой точки.
Определение 5. Число А называется пределом функции в точке, если, чтои при этом пишут. у
Геометрически это представля-
ется следующим образом: ,
что .А
Упрощенно это определение
можно представить так:
Число А называется пределом х
функции прих, стремящимся а
к числу а, если точка приближается к числуА, когда точка х приближается к а.
Пример 3. Покажем, что для функции .
Зададим произвольное и определим. Запишем неравенство
.
Существенным понятием, особенно при нахождении пределов функ-ции, являются односторонние пределы.
Определение 6. Число А называется правым (левым) пределом функ-ции в точке, если, чтои при этом пишут
.
Односторонние пределы можно также обозначать и.
Связь между односторонними пределами и пределом функции уста-навливает следующая
Теорема. Если функция в точкеимеет предел, то. Верно и обратное.
Из таких же соображений определяется и предел функции при .
Определение 7. Число А называется пределом функции при, если, чтовыполняется неравенствои при этом пишуту
, если и
, если .А
Геометрически это выглядит
следующим образом: О М х
что будет.
Пример 4. Покажем, что для функции .
Зададим и определим числоМ. Запишем неравенство
.
Замечание 2. Иногда удобно использовать другое, эквивалентное, опре-деление предела функции:
Число А называется пределом функции в точке, если.
Лекция № 16
2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Определение 1. Функция называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при , если.
Напомним это определение: , что
.
Определение 2. Функция называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) при , если, чтои при этом пишут.
Пример 1. Покажем, что для функции
Зададим произвольное . Получим неравенство
т.е. в этой окрестности точки значения функции по модулю будут больше заданного числаМ.
Замечание 1. При определении б.м.в. и б.б.в. следует обратить внимание на фразу “при “, так, например, функцияявляется б.м.в. прии б.б.в. при, что видно, в частности, из графика этой функции.
Замечание 2. Все б.б.в. являются неограниченными функциями. Обрат-ное, вообще говоря, неверно, что видно из следующего примера.
Пример 2. Очевидно, функция является неограниченной при, но она не является б.б.в. Например, для последовательности,
Замечание 3. Б.м.в. принято обозначать:
Б.м.в. и б.б.в. обладают следующими свойствами:
1. Сумма конечного числа б.м.в. есть б.м.в..
Не нарушая общности, рассмотрим случай двух б.м.в. Зададим для суммы . Тогда в силу определения б.м.в. одновременно выполняется
и , т.е. сумма б.м.в.
2. Произведение ограниченной функции на б.м.в. есть б.м.в.
Доказывается аналогично с учетом, что , где.
3. Если б.м.в. при , то б.б.в. при . Верно и обратное.
Пусть б.м.в. Это означает, что . Тогда, т.е. б.б.в. Аналогично доказывается и обратное утверждение.