6.3. Достаточные условия экстремума

Так как точка максимума разделяет интервалы возрастания и убывания, а точка минимума  убывания и возрастания, то получаем

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через критическую точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то это точка Если – с минуса на плюс, то это точка

Второе достаточное условие экстремума. Пусть точка х₀ является стационарной точкой функции , которая имеет непрерывную произ-водную второго порядка в окрестности этой точки. Тогда, если, то точках₀ – точка если , то

Действительно, запишем для функции формулу Тейлора прив окрестности точких₀:

Так как точка х₀ является стационарной точкой функции , тои из формулы Тейлора следует

Отсюда в силу непрерывности имеем:

1. Если

2. Если

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Найдём производную данной функции

,

из которой определим критические точки: .

Построим таблицу

х		1		2		3
			+	0			+
у		0		1		0

Итак, функция имеет экстремум (максимум), равный1, в точке и два экстремума (минимума), равных0, в точках Или сокращенно:

6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть задана непрерывная на функция. Она достигает своих наибольшего и наименьшего значений либо во внутренних крити-ческих точках, либо на концах отрезка . Отсюда следует

Правило. Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение на необходимо:

1. Найти критические точки, принадлежащие данному отрезку ;

2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка;

3. Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Находим критические точки

.

Вычисляем значения функции в критической точке х = 1 и на кон-цах рассматриваемого отрезка :

Пример 4.* Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб, если сопротивление на изгиб вычисляется по формуле , гдеk  упругая постоянная, a  ширина, h  высота сечения балки. а

Обозначим .

Тогда и

h

Покажем, что это точка максимума,

воспользовавшись вторым достаточным

условием экстремума

Лекция № 23.

6.5. Выпуклость функции и точки перегиба

Определение 1. Линия называется выпуклой вверх (вниз) на, если все точки линии, кроме точки касания, лежат ниже (выше) любой её касательной на этом интервале. Точка, отделяющая часть графика, выпуклую вверх, от части графика, выпуклой вниз, называется точкой перегиба.

y

О а х₀ b x

Здесь на интервале функциявыпукла вверх, на интервалефункциявыпукла вниз,х₀  точка перегиба.

Для определения интервалов выпуклости вверх и вниз используется условие их существования.

Теорема 1. Если , то на этом интервале линия выпукла вверх (вниз).

Пусть для определенности . Уравнение каса-тельной, проведённой в точке , имеет вид

,

а уравнение линии . Рассмотрим разность

. (1)

К первым двум членам правой части выражения (1) применим теорему Лагранжа и рассмотрим случай

.

Ещё раз воспользуемся теоремой Лагранжа

.

В этом случае , а это означает, что на интервалелиниявыпукла вверх.

Аналогично теорема доказывается и для случая .

Замечание 1. В некоторых точках интервала выпуклости возможно ра-венство . Например, для выпуклой вниз функции при.

Из определения точки перегиба следует:

Необходимое условие точки перегиба. Если х₀  точка перегиба функ-ции , то в этой точкелибо не существует.

С учетом теоремы об условиях выпуклости получаем

Достаточное условие точки перегиба. Если или не существует и при переходе через эту точкуменяет знак, то точках₀ является точкой перегиба.

Пример 1. Найти интервалы выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба функции .

Вычислим производные: не принадлежит области определения функции. Построим таблицу

х		1
	+	0	
у		перегиб

Таким образом, на интервале функциявыпукла вниз, на интервалефункциявыпукла вверх,х₀ = 1  точка перегиба.