- •Курс лекций
- •П р е д и с л о в и е
- •Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
- •1.1. Определители второго и третьего порядков
- •1.2. Основные свойства определителей
- •1.3. Вычисление определителей
- •Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Правило Крамера
- •Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы
- •3.1. Основные виды матриц
- •3.3. Обратная матрица
- •3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •. Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений
- •4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
- •1.1. Определение вектора
- •Лекция № 6.
- •1.4. Способы задания векторов
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Тема 2: Скалярное произведение
- •2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
- •2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
- •Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение
- •3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
- •3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •3.3.* Механический смысл векторного произведения
- •Тема 4 : Смешанное произведение
- •4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
- •4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
- •Аналитическая геометрия Лекция № 8. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •Лекция № 10. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •3.3. Парабола
- •3.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 12.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 14. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 15. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 16
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 17
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 18. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференциальное исчисление Лекция № 19. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •Лекция № 20.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 22. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 23.
- •6.5. Выпуклость функции и точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 24.
- •6.8*. Кривизна кривой
1.3. Элементарные функции
К основным или простейшим элементарным функциям относятся:
1. Степенная где.
2. Показательная .
3. Логарифмическая .
4. Тригонометрические: .
5. Обратные тригонометрические: .
В качестве повторения постройте графики этих функций.
Применяя к этим функциям арифметические действия и операцию суперпозиции конечное число раз, будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными.
Например, .
Иногда полезно использовать так называемые гиперболические функ-ции, которые также относятся к элементарным:
.
Легко непосредственно проверить следующие их свойства:
.
Можно заметить, что эти свойства напоминают свойства тригоно-метрических функций, поэтому они соответственно и называются гипер-болическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.
Остальные функции относятся к так называемым неэлементарным. Примеры неэлементарных функций:
функция Дирихле;
целая часть числа, где x наибольшее целое число, не превосхо-дящее x, например,
Лекция № 15. Тема 2 : Пределы
2.1. Предел последовательности и переменной величины
Определение 1. Значения функции натурального аргумента , гденазываются последовательностью, которая обозначается
.
Примеры последовательностей:
1. .
2. . 3. .
Определение 2. Последовательность называетсяограниченной сверху (снизу), если существует такое число M(m), что любой член xn этой последовательности удовлетворяет неравенству . Если последовательность ограничена сверху и снизу, то она называетсяограниченной.
Например, последовательность 1 является возрастающей и ограничен-ной, последовательность 2 возрастающая и ограничена снизу, а после-довательность3ограничена.
Определение 3. Число а называется пределом последовательности или пределом переменной величиныxn , если , чтои пишут
или .
Дадим геометрическое представление предела так как что выглядит следующим образом
( )
а х
Таким образом, если а предел последовательности , то, чтовсееечлены,начинаяснекоторого попадут в эту окрестность.
Пример 1. Покажем, что предел первой последовательности равен 1, т.е. .
Зададим произвольное и составим неравенство, т.е.. Тогда номер члена, начиная с которого все члены последовательности попали в окрестность, определится из условия. Например, если , то, начиная с номера, все члены последовательности удовлетворяют неравенству или попали в окрестность.
Определение 4. Переменная xn называется бесконечно большой при , если, чтои при этом пишут
или , еслии
или , если.
Пример 2. Покажем, что для второй последовательности .
Зададим и составим неравенство. Тогда неравенство выполняется, где.
Особое внимание следует уделить замечанию:
Замечание 1. Концептуально такие же определения и свойства имеют место и для любой переменной величины х. Например, число а называ-ется пределом переменной величины х, если , чтои пишутили, т.е. последовательность пред-ставляет собой переменную величину, значения которой пронумерованы.
Из определения предела переменной следуют её свойства:
1. Если переменная имеет предел, то он единственный.
2. Предел постоянной равен этой постоянной.
3. Если переменная имеет предел, то она ограничена.
4. Не всякая переменная имеет предел (см. последовательность 3 и задайте ).
5. Монотонная ограниченная переменная имеет предел.