Дифференциальное исчисление Лекция № 19. Тема 4 : Производная и дифференциал
4.1. Производная функции
Пусть функция
определена в точкех
и некоторой её окрест-ности
.
Определение 1.
Производной от функции
в точкех
называется предел отношения её приращения
в этой точке к соответствующему приращению
аргумента
при
и обозначается
.
(1)
Другие обозначения
производной:
Замечание 1.
Очевидно для существования предела (1)
необходимо вы-полнение равенства
,
где
левая
производ-ная (
),
а
правая
производная (
).
Определение 2.
Функция
,
имеющая конечную производную в точкех,
называется дифференцируемой
в этой точке, а если она диффе-ренцируемая
в каждой точке промежутка
,
то она называется диффе-ренцируемой в
этом промежутке.
Замечание 2. Не для всех функций существует предел (1).
Например, определим
производную функции
в точке
раскроем знак модуля, вычисляя предел
(1) слева и справа,
Таким образом,
функция
является не дифференцируемой в точке
Пример показывает, что не всякая непрерывная функция является дифференцируемой. Верно ли обратное?
Теорема 1.
Если функция
дифференцируемая в некоторой точкеx,
то она непрерывна в этой точке.
Пусть существует предел (1). Это по теореме о пределе функции означает, что
,
где
.
(2)
Из формулы (2)
следует
.
Переходя к пределу, получаем
,
ч.т.д.
Обратное, вообще
говоря, неверно (например, функция
).
4.2. Производные основных элементарных функций
Используя определение производной, можно получить значения производных основных элементарных функций. Рассмотрим примеры:
Пример 1.
Найти производную функцию
.
.
При вычислении предела мы использовали Пример 5 из Лекции 17.
В частности, если
,
то
.
Пример 2.
Аналогично, для функции
.
В частности, если
Пример 3.
Найти производную функции
.
Пример 4.
Аналогично, для функции
.
Приведём таблицу производных элементарных функций:
1.
.
2.
. 3.
.
4.
. 5.
.
6.
. 7.
.
8.
. 9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
Формулы (2-7) нами доказаны.
Остальные формулы будут доказаны позже.
4.3. Механический смысл производной
Рассмотрим
прямолинейное движение точки М.
Пусть в момент времени t
точка М
находится на расстоянии
от начального поло-женияМ0.
t0
t
s
М0 М М1
В последующий
момент
точкаМ
заняла положение М1
на расстоянии
от начального положения. Тогда средняя
скорость за
будет
,
а скорость
в момент времениt
:
.
Таким образом,
если функция
–
это путь, проходимый точкойМ,
то производная
от этой функции – скорость
движения точки.
4.4. Геометрический смысл производной
П
усть
функция дифференцируема в точкех.
у
О
х
х
Из рисунка следует,
что
.
Перейдём
к пределу при
Таким образом,
значение производной равно тангенсу
угла наклона касательной, проведённой
в данной точке. Исходя из этого, уравнение
касательной в точке
к кривой
имеет вид
.
Прямая, проходящая через точку М0, перпендикулярно касательной называется нормалью. Её уравнение имеет вид
.
Отметим частный случай:
если
уравнение
касательной,
нормали.
Пример 6.
Найти уравнения касательной и нормали
к функции
в точке
Имеем
Найдем производную
функции
Таким образом, получим
уравнение
касательной,
уравнение
нормали.
4.5. Правила дифференцирования
Пусть функции U(х) и V(х) дифференцируемые.
1.
Если
.
2.
.
3.
.
4.
.
Докажем последнее правило
.
Пример 5.
Найти производные функций
и
.
.
Аналогично,
,
т.е. доказаны формулы (8-9) таблицы производных.
4.6. Производная сложной функции
Пусть дана сложная
функция
,
т.е.
Теорема 2.
Если функция
имеет в точкеx
производную
,
а функция
в соответствующей точкеи
также имеет производную
,
то сложная функция
в точкех
имеет производную, которая равна
.
По условию теоремы
существует
.
По теореме о пре-деле функции из
существования этого предела следует
,
где
или
.
(3)
Разделим выражение
(3) на
.
(4)
Переходя к пределу
в формуле (4) при
,
а тогда в силу непрерывности и
,
получим
.
(5)
Замечание 3. Формулу (5) можно обобщить для любого числа суперпозиций функций. Например, если
.
Пример 7.
Найти
,
если
.
.
Пример 8.
Найти
,
если
Представим
и по правилу дифференцирования сложной
функции получим
,
т.е. доказана и первая формула из таблицы производных.