Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
cd747 / ЧАСТЬ-1.doc
Скачиваний:
111
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
4.96 Mб
Скачать

6.2. Поверхности второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана поверхность, определяемая уравнением второй степени

(2)

где коэффициенты одновременно не равны нулю. Эта поверхность называется поверхностью второго порядка.

Рассмотрим частные случаи уравнения (2):

1. Эллипсоид. Его каноническое уравнение .

Чтобы составить представление об этой поверхности, проведём сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Предварительно заметим, что при замене уравнение эллипсоида не изменяется – это означает, что эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей.

Например, пересекая эллипсоид плоскостями , получаем в сечениях эллипсы вида

с полуосями .

Отсюда видно, что самый большой эллипс получается в сечении а при увеличении h эллипсы уменьшаются, вырождаясь в точ-ку при .

Аналогичная картина будет в сечениях плоскостями и . На основании таких исследований можно определить окон-чательный вид эллипсоида.

z

c

a

b b y

a

xc

Так же можно получить вид следующих поверхностей:

2.Однополостный гиперболоидz

y

x

3.Двуполостный гиперболоид

z

y

x

4. Эллиптический параболоид

.

z

x y

5. Гиперболический параболоид.

z

x

y

6. Конус z

y

x

7. Эллиптический цилиндр -

z

b у

a

x

8. Гиперболический цилиндр - z

-a

a

y

x

9. Параболический цилиндр -

z

у

x

10.Пара пересекающихся плоскостей - z

або .

y

x

11. Пара параллельных плоскостей или .

12. Пара совпадающих плоскостей.

13. Точка

Аналогично, как и для случая линий второго порядка, имеет место

Теорема. Для любого уравнения (2) поверхности второго порядка существует такая декартовая система координат, в которой уравнение принимает один из видов (113).

Пример 3. Найти точки пересечения прямой с однополостным гиперболоидом

Прямую представим параметрическими уравнениями Под-

ставим в уравнение гиперболоида, получим уравнение для нахож-дения параметраt:

.

Его корни: . Это означает, что имеются две точки пересечения прямой с гиперболоидом: и.

Какие еще могут быть варианты взаимного расположения прямой с однополостным гиперболоидом?

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке cd747