Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители

1.1. Определители второго и третьего порядков

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

(1)

Если первое уравнение системы (1) умножить на а₂₂ , второе на а₁₂ и полученные результаты сложить, то получим

Предположим, что выражение в скобках отлично от нуля, тогда находим

(2)

Аналогично получаем

(3)

Определение 1. Определителем второго порядка называется выражение, заданное в виде квадратной таблицы из четырех элементов, и определяемое по правилу

(4)

Здесь  члены определителя, а  элементы определителя.

С учетом определения (4) формулам (2) и (3) можно придать более компактный вид

где

Пример 1. Вычислить

Аналогично, рассматривая систему трёх уравнений с тремя неиз-вестными, приходим к определению определителя третьего порядка.

Определение 2. Определителем третьего порядка называется выражение, заданное в виде квадратной таблицы из девяти элементов, и определяемое по правилу

. (5)

Замечание. Выражение (5) является громоздким. Его запомнить будет проще, если использовать следующую схему вычислений



Пример 2. Вычислить

1.2. Основные свойства определителей

Все рассмотренные свойства легко проверить непосредственно на примере определителей третьего порядка, хотя они справедливы и в общем случае.

1. При замене столбцов строками с тем же номером (при транспони-ровании) определитель своего значения не меняет, т.е. строки и столбцы у определителя равноправны.

Таким образом, требуется доказать равенство

2. Определитель, содержащий строку (столбец) из нулей, равен нулю.

Действительно, так как в этом случае каждый член определителя содержит множителем элемент этой строки (или столбца), равный нулю.

3. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Доказывается непосредственно, как и свойство 1.

4. Определитель, содержащий две равные строки (столбца), равен нулю.

Сделаем перестановку этих строк. Тогда из свойства 3 получим

5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Действительно, это можно сделать, так как этот множитель содержится в каждом члене определителя.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбцы) равен нулю.

Доказательство этого свойства следует из свойств 45.

7. Если все элементы строки (столбца) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, каждый из которых имеет строку (столбец) из соответствующих слагаемых элементов.

Например,

Доказывается непосредственно, исходя из определения определителя третьего порядка.

8. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответст-вующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель своего значения не изменит.

Доказательство следует из свойств 67.