Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
cd747 / ЧАСТЬ-1.doc
Скачиваний:
197
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
4.96 Mб
Скачать

Тема 5 : Прямая в пространстве

5.1. Уравнения прямой

Как известно, одним из способов задания прямой является пересечение двух непараллельных плоскостей, т.е. прямая l определяется системой уравнений

(5)

Кроме того, прямаяl будет определена,

если задать точку , принадлежащуюМ

прямой и вектор , которому эта

прямая параллельна. Такой вектор называется М0

направляющим вектором. l

Пусть точка  текущая точка прямой, тогда из условия коллинеарности двух векторов иполучаем

(6)

Если обозначить равные отношения в формуле (6) через t, то получим

(7)

Уравнения прямой вида (5)(7) называются соответственно общими, каноническими и параметрическими. Между этими уравнениями существует определённая связь. Переход от уравнений (6) к уравнениям (7) уже рассмотрен. Пусть требуется перейти от уравнений (6) к уравнениям (5). Уравнения (6) эквивалентны системе

(8)

Система линейных уравнений (8) и определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей. Для перехода от уравнений (5) к (6) необходимо найти из системы (5) координаты любой точки М0, принад-лежащей прямой, а за направляющий вектор взять вектор .

Пример 7. Прямая задана общими уравнениями

Требуется получить каноническое и параметрические уравнения.

Полагая в системе , находим

Выпишем нормальные векторы и найдём их векторное произведение

Тогда каноническое уравнение прямой имеетвид

и параметрические уравнения

Лекция № 12.

5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две точки и. Возьмём в качестве направляющего вектора, а за начальную точку любую из точек М1 и М2, например, М1. Тогда уравнение искомой прямой примет вид

(1)

5.3. Угол между двумя прямыми

Очевидно, что углом между двумя прямыми можно считать угол между их направляющими векторами и. Тогда

(2)

Если прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны и условие параллельности принимает вид

Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны их направляющие векторы и условие перпендикулярности из формулы (2) примет вид

Пример 1. Две прямые ипроходят через начало координат. При этом точки. При каком значении пара-метрар они перпендикулярны?

В качестве первой точки (см. формулу (1)) возьмём начало координат , тогда направляющие векторы будут равны , и из условия перпендикулярности получаем

5.4. Расстояние от точки до прямой

Пусть требуется найти расстояние от точки до прямой l, заданной каноническим уравнением

Построим вектор . z M1

Расстояние d от точки M1 до

Прямой l равно высоте параллело- M0 d

грамма, построенного на векторах у

и .

Так как площадь параллелограмма х l

или ,

то получим

(3)

Пример 2. Найти расстояние от точки до прямой

Здесь И тогда имеем

Соседние файлы в папке cd747