- •Курс лекций
- •П р е д и с л о в и е
- •Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
- •1.1. Определители второго и третьего порядков
- •1.2. Основные свойства определителей
- •1.3. Вычисление определителей
- •Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Правило Крамера
- •Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы
- •3.1. Основные виды матриц
- •3.3. Обратная матрица
- •3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •. Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений
- •4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
- •1.1. Определение вектора
- •Лекция № 6.
- •1.4. Способы задания векторов
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Тема 2: Скалярное произведение
- •2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
- •2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
- •Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение
- •3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
- •3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •3.3.* Механический смысл векторного произведения
- •Тема 4 : Смешанное произведение
- •4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
- •4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
- •Аналитическая геометрия Лекция № 8. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •Лекция № 10. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •3.3. Парабола
- •3.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 12.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 14. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 15. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 16
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 17
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 18. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференциальное исчисление Лекция № 19. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •Лекция № 20.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 22. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 23.
- •6.5. Выпуклость функции и точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 24.
- •6.8*. Кривизна кривой
5.4. Формула Тейлора
Для функции , которая имеет производные до (п + 1)го порядка включительно в некоторой окрестности точки х0, найдём многочлен сте-пени п, который удовлетворяет следующим условиям:
. (1)
Будем его искать в виде
. (2)
Определим из условий (1) коэффициенты в выра-жении (2), дифференцируя его и подставляя значение.
.
И тогда получим
.(3)
Естественно ожидать, что многочлен (3) в окрестности точки х0 мало отличается от функции . Обозначим разность, которая называетсяостаточным членом.
Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид
где . Если остаточный член мал, то имеем приближенную формулу .
Пример 5. Составить формулу Тейлора для функции в окрест-ности точкии вычислить с точностьюзначение.
Учитывая, что иполучим
.
Положим в этой формуле
,
где . Из оценки остаточного члена определимп, т.е. решим неравенство
и тогда окончательно получим
Лекция № 22. Тема 6 : Исследование поведения функций
6.1. Возрастание и убывание функций
Теорема. Если дифференцируемая на функциявозрастает (убывает), товыполняется. Верно и обратное утверждение.
Пусть Тогда отношение
Переходя к пределу, получаем
Аналогично доказывается случай
Докажем обратное утверждение. Пусть , а. По теореме Лагранжа имеем
.
Отсюда, с учётом знака правой части, имеем
Аналогично доказывается случай
Замечание 1. В некоторых точках может быть , так как производная является пределом.
Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции
Находим производную заданной функции
Знаки производной определим методом интервалов:
+ +
1 0 1 х
Тогда имеем
6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
Определение 1. Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности этой точки выполняется.
Определение 2. Точки максимума и точки минимуманазываются точками экстремума функции, а соответствующие значения функции – экстремальными значениями.
Замечание 2. Не следует, вообще говоря, считать, что максимум и минимум функции являются соответственно её наибольшим и наимень-шим значениями на заданном отрезке.
y
0 а х1 х2 х3 b x
Здесь х1, х3 точки минимума, х2 точка максимума функции ,но
Из теоремы Ролля следует необходимое условие существования экстремума функции:
Если функция дифференцируемая и имеет экстремум в точкех0, то в этой точке
Как обстоит дело в точках, где производная не существует? Например, очевидно, что функция имеет минимум при, где она не дифференцируемая.
Таким образом, окончательно можем сформулировать
Необходимое условие экстремума. Если непрерывная функция имеет в точкех0 экстремум, то в этой точке либо не существует.
Определение 3. Точки, в которых называютсястационар-ными. Стационарные точки и точки, в которых производная не сущест-вует, называются критическими.
Замечание 3. Очевидно, что не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, критическая точка, которая не является точкой экстремума (см. график функции ).
Как выделить из критических точек точки экстремума? Для этого существуют достаточные условия экстремума.