- •Курс лекций
- •П р е д и с л о в и е
- •Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
- •1.1. Определители второго и третьего порядков
- •1.2. Основные свойства определителей
- •1.3. Вычисление определителей
- •Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Правило Крамера
- •Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы
- •3.1. Основные виды матриц
- •3.3. Обратная матрица
- •3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •. Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений
- •4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
- •1.1. Определение вектора
- •Лекция № 6.
- •1.4. Способы задания векторов
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Тема 2: Скалярное произведение
- •2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
- •2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
- •Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение
- •3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
- •3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •3.3.* Механический смысл векторного произведения
- •Тема 4 : Смешанное произведение
- •4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
- •4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
- •Аналитическая геометрия Лекция № 8. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •Лекция № 10. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •3.3. Парабола
- •3.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 12.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 14. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 15. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 16
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 17
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 18. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференциальное исчисление Лекция № 19. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •Лекция № 20.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 22. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 23.
- •6.5. Выпуклость функции и точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 24.
- •6.8*. Кривизна кривой
3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций
Используя теоремы 13 о пределах функции (п.2.5), можно доказать следующие теоремы:
Теорема 1. Сумма конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.
Пусть функции непрерывны в точкех0 и
.
Тогда имеем
ч.т.д.
Теорема 2. Произведение конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.
Доказательство аналогично.
Теорема 3. Частное двух непрерывных функций является непрерывной функцией, если знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю.
Доказательство аналогично.
Теорема 4. Пусть функция непрерывна в точкеи0, а функция непрерывна в точкех0 и пусть . Тогда сложная функция непрерывна в точкех0.
Здесь была использована подстановка и условие непрерыв-ности функциив точкех0.
В результате доказательств этих теорем и непрерывности основных элементарных функций приходим к важной обобщающей теореме:
Теорема 5. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.
3.3. Классификация точек разрыва функции
Определение 4. Если в точке х0 нарушается условие непрерывности функции , то функция называется разрывной в точкех0, а точка х0 точкой разрыва функции.
Определение 5. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции и.
Эти пределы могут быть как равными, так и неравными между собой. Разность называетсяскачком.
Схематичный вид функции в точке разрыва первого рода:
у
0 х0 х
Пример 2. Функции, имеющие разрывы первого рода:
; целая часть числа х.
Замечание 2. Точку разрыва первого рода х0 иногда называют точкой устранимого разрыва, если , а не определена. В этом случае полагают и точках0 становится точкой непрерывности.
Функция в этой точке имеет вид
у
0 х0 х
Пример 3. Для функции точках0 = 0 является точкой устранимого разрыва.
Определение 6. Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Пример 4. Покажем, что функция в точкех0 = 1 имеет разрыв второго рода.
Пример 5. Покажем, что функция в точкех0 = 0 имеет разрыв второго рода.
Рассмотрим последовательность :
Как показано в п.2.2 последний предел не существует, т.е. имеем разрыв второго рода.
3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теоремы,описывающие эти свойства, проиллюстрируем на графиках.
Теорема 1. Если непрерывна на, то она ограничена на, т.е..
Теорема 2. Если непрерывна на, то насуществуют её наибольшее и наименьшееу
значения, т.е. М
и пишут
c
а 0 d b x
M
Теорема 3. Если непрерывна наи принимает на концах отрезка неравные значения, то дляy
любого промежуточного значения М
между этими числами существует по М
крайней мере одна точка ,
для которой .
0 a c b x
Следствие. Если непрерывная на функцияпринимает на концах значения разных знаков, тоy
существует по крайней мере одна
точка , в которой.a c b x
Этот факт используется для 0
нахождения корней уравнения.