3. Чисельні методи рішення. Правило Рунге

Класифікація методів. Виробляється залежно від особливостей тої інформації, що використовується при обчисленні наближеного значення y(x) у вузловій крапці.

У першому наближенні правило, по якому відбуваються обчислення символічно можна представити у вигляді

(5)

де

- наближені значення рішення задачі (1), (2) у крапках

h – крок інтегрування. Якщо

1) , а, те правило (5) називається однокроковим, у противному випадку,- багатокроковим;

2) , обчислювальне правило називаєтьсяявним, при неявним, при , -із забіганням уперед.

Далі, основну увагу приділимо однокроковим методам. Відповідне обчислювальне правило має вигляд

де .

Методи, засновані на розкладанні в ряд Тейлора. Припустимо, що вузли інтегрування є рівновіддаленими, тобто й розглянемо ділянку. Припускаючи функціюдифференцируемую достатнє число раз, маємо

(6)

Обмежуючись малими першого порядку відносно h, одержимо правило

(7)

яке називається явним методом Эйлера. Його погрішність на відрізку становить

,

де , а на кінцевому відрізку [a, b] з огляду на , дорівнює

,

де . На підставі цього даний метод називаєтьсяметодом першого порядку точності. Він має наочну геометричну інтерпретацію (Малюнок 1) і називається також методом ламаних. На кожній ділянці довжиною h ділянка інтегральної кривої заміняється відрізком прямої.

Малюнок 1. Явна схема Эйлера.

Зауваження 1. Якщо скористатися розкладанням

(8)

і також обмежитися малими першого порядку, одержимо правило

(9)

яке називається неявною схемою Эйлера.

Погрішність формули (9) дорівнює

,

погрішність методу на кінцевому проміжку

.

Зауваження 2. Складемо (7), (9) і розділимо на два, у результаті чого одержимо нове правило

називане методом трапецій. Також як і (9) воно є неявним. Якщо з розкладання (6) почленно відняти розкладання (8), одержимо локальну погрішність формули трапецій

.

Тоді погрішність, що накопичується на відрізку буде дорівнює

,

де . Таким чином, метод трапецій маєдругий порядок точності.

Зауваження 3. Розглянуті вище погрішності наближених методів описують ті помилки, які виникають внаслідок заміни диференціального рівняння кінцевою обчислювальною схемою й називається погрішністю апроксимації. Крім цього в загальному балансі відіграють роль погрішності, що виникають на кожному кроці інтегрування в результаті використання наближеного значення замість точногоЇх звичайно відносять до погрішностей обумовленим неточностями в завданні вихідних даних і розглядають окремо.

Методи Рунге-Кутта. Розглянемо рівняння (1). Інтегруючи його на проміжку одержимо

Тоді після заміни , де, для приросту на n-ом кроці одержимо вираження

(10)

Таким чином, задача обчислення значення функції в крапцізводиться до обчислення інтеграла в співвідношенні (10). Однак використання традиційних квадратурних формул для цих цілей проблематично, тому що значенняневідомі. У методах Рунге - Кутта квадратурні схеми будуються в такий спосіб.

Уводяться три групи параметрів , де

,

якими розпоряджаються так. Перша група параметрів визначає набір вузлових значень по першої змінної подинтегральной функції. Друга група параметрів визначає набір вузлових значень по еї другий змінної. Причому виробляється це непрямим образом через приростифункціїв попередніх вузлових крапках, де

,

,

,

. . . . . . . .

.

Нарешті, третя група параметрів використовується для формування квадратурної формули

.

Таким чином, остаточно

(11)

Позначимо погрішність співвідношення (11) через , тобто

або

Представимо її за допомогою формули Тейлора у вигляді розкладання по ступенях h

де .

Якщо зажадати тепер, щоб одержимо погрішність співвідношення (11) рівнуй, отже, погрішність методу рівну.

До числа найбільш уживаних ставляться методи 4-го порядки точності. Для них значення . Один з варіантів відповідного набору параметрів наступний

Тоді вираження мають вигляд

,

,

,

коефіцієнти ,-

, ,,

і обчислювальне правило, у цілому,

.

На Малюнку 2 у смузі зазначені використовувані в цьому методі вузлові крапки. Значенняобрані довільно.

Малюнок 2. Вузлові крапки методу Рунге-Кутта 4-го порядку

Правило Рунге. Для оцінки погрішності чисельних результатів інтегрування при використанні однокрокових методів на практиці звичайно застосовують правило Рунге, що полягає в наступному.

Теоретично показано, що головний член погрішності апроксимації має вигляд , деk – порядок методу, - деяка функція, обумовлена особливостями правої частини диференціального рівняння.

,

де , - точне значення,, наближене, певне при проведенні розрахунків із крокомh. Тоді, проводячи розрахунки із кроком і, одержуємо

.

Дозволяючи, далі, наближену систему цих співвідношень відносно , маємо

,

звідки

. (12)

Співвідношення (12) і представляє правило Рунге. Природно, воно дає достовірні результати лише в тому випадку, що коли домінує в загальній погрішності результату є погрішність методу.

Звичайно правило (12) використовують при ,. Тоді

.

Зокрема, для методів Эйлера (k=1)

,

методу трапецій (k=2), -

,

методу Рунге – Кутта четвертого порядку (k=4),-

.